Вращение жидкости в сосуде

К числу классических проблем гидродинамики принадлежит проблема расчета истечения жидкости из цилиндрического сосуда через круглое отверстие на его дне. Экспериментально известно, что при таком истечении поток, казавшийся в начале покоящимся, приобретает в зоне стока, кроме естественной радиальной скорости, также значительную вращательную скорость. (Резкое увеличение скорости вращения каждый наблюдал, скажем, при спуске воды из ванны.)

Такое вращательное движение жидкости пытались объяснить вращением Земли или случайным начальным вращением. Однако расчеты в схеме идеальной жидкости не давали числового совпадения с экспериментом.

Наиболее явное расхождение теории и, опыта проявляется в следующем факте: при истечении жидкости из отверстия в дне вращающегося цилиндрического сосуда (рис. 88) суммарный момент количества движения жидкости (отнесенный к ее массе) относительно вертикальной оси сосуда увеличивается со временем. Этот факт легко проверяется экспериментально: надо раскрутить цилиндрический сосуд с жидкостью до определенной

(малой) угловой скорости, затем открыть сток в центре дна и замерить суммарный момент количества движения жидкости, отнесенный к ее массе.

Следствием этого является такой, на первый взгляд неожиданный, эффект. Пусть сосуд с жидкостью, о котором только что говорилось, укреплен на подшипниках так, что он может свободно вращаться вокруг своей оси. Если раскрутить его до некоторой угловой скорости, а потом снять крутящие усилия и одновременно открыть сток на дне, то скорость вращения цилиндра начнет возрастать!

По-видимому, объяснение этого эффекта следует искать в вязкости. В схеме идеальной жидкости истечение привело бы к резкому увеличению угловой скорости жидких колец малого радиуса, близких к оси вращения. По мере удаления от оси прирост угловой скорости вследствие истечения быстро затухал бы, и на скорости вращения самого сосуда истечение жидкости не сказалось бы. Но под влиянием вязкости различие в угловых скоростях жидких колец разных радиусов будет выравниваться — скорость колец, близких к оси, уменьшится, но зато скорость периферийных колец возрастет. Последнее, в силу граничных условий прилипания, приведет к увеличению скорости вращения всего сосуда.

во всем цилиндре поле скоростей жидкости считается непрерывным. Возникает задача о склейке типа тех, которые рассматривались в гл. V. Для ее решения можно организовать машинный счет.

Близка к рассмотренной следующая задача. Пусть цилиндр, наполненный жидкостью, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг своей оси и в него вставлен неподвижный стержень, ось которого совпадает с осью цилиндра. Если вязкость жидкости невелика, то ее свободная поверхность будет близка к параболоиду вращения так, как если бы стержня не было (рис. 89,а). Если же вязкость значительна, то жидкость оказывается более поднятой в центре, чем на границе цилиндра (рис. 89,6). Опыт можно видоизменить: цилиндр с вязкой жидкостью оставить неподвижным, а круглый стержень, вставленный в жидкость по оси цилиндра, вращать — жидкость поползет по стержню вверх.

Качественное объяснение явления таково. В отсутствии вязкости при установившемся движении все скорости перпендикулярны к оси цилиндра; поле скоростей и распределение давлений в жидкости нетрудно рассчитать. Наличие вязкости, как и в предыдущей задаче, приводит к увеличению скоростей и избыточному давлению вблизи оси цилиндра — это давление и объясняет появление составляющих скоростей, параллельных оси цилиндра и направленных к свободной поверхности жидкости.

Примерно такими же соображениями объясняются еще два явления. Первое из них впервые отмечено А. Эйнштейном — если чай в стакане раскрутить ложкой, то чаинки соберутся в центре стакана. Второе явление наблюдается в реках с быстрым течением.

У берега возле вогнутых мест русла реки скорости имеют заметную составляющую, направленную вниз: течение в таких местах затягивает плавающие тела на глубину и переносит грунт со дна реки на противоположный берег.