Дифференцирование комплексных функций

Производная. Пусть в области D плоскости (х, у) задана пара дифференцируемых функций двух переменных:

как предела

стремится к нулю

) произвольным образом,

в ги-

перболическом случае.

Легко видеть, что дифференцируемости функций и(х,у) и v(x, у) недостаточно для существования производной f(z). В самом деле, дифференцируемость функций (1) означает возможность выделения из их приращений главной линейной части

— частные производные в точке z = x+iy,

зависит от способа приближения hi и h2 к 0, т. е. не существует в смысле принятого нами определения (в ко^ тором требуется существование предела при произвольном стремлении h к 0).

Сравнивая эти пределы, мы получим

В эллиптическом случае,

= — i, это условие приводит к уравнениям

— к уравнениям

при условии дифференцируе-

мости функций и и v, т. е. что при их выполнении предел (2) существует независимо от способа приближения А к 0.

) оказывается более ограничительным требованием, чем обычная дифференцируемость функций и и у. Мы скоро увидим, однако, что дополнительные ограничения, связанные с комплексной дифференцируемостью, имеют естественный геометрический и физический смысл. Именно эти ограничения и приводят к созданию аппарата, хорошо описывающего плоские течения жидкости.

в каждой точке области D, называются аналитическими в этой области, если мы имеем дело с обычными комплексными числами; в случае гиперболической системы мы будем называть их гиперболически аналитическими, или, короче, h-аналитическими. Уравнения (4) и (5) называют соответственно условиями аналитичности и h-аналитич-ности. Первые из них называют еще условиями Коши — Римана.

, не является ни аналитической, ни /г-аналитической), им все же удовлетворяет весьма большой запас функций. Приведем примеры таких функций.

Полиномы

  (в гиперболическом смысле). В обеих случаях производная

существует для всех комплексных г.

Рациональные дроби

аналитичны всюду, где знаменатель отличен от нуля (и /г-аналитичны, где знаменатель не является делителем нуля). Легко видеть, что производная вычисляется по той же формуле, что и в действительном анализе.

а в гиперболическом

4) Логарифм определяется как функция, обратная показательной. В эллиптическом случае, полагая

Значение ф определено лишь с точностью до целого кратного 2л, поэтому и логарифм оказывается многозначным:

Выделяя одно какое-либо значение аргумента, мы выделяем и одно значение логарифма:

окажется аналитической функцией; в этом смысле Logs называют многозначной аналитической функцией. Заметим, что производная логарифма не зависит от выбора

; в этом смысле можно говорить,

=

Это — од-

(деление — гиперболическое).

5) Тригонометрические функции в эллиптическом случае просто выражаются через показательную, например,

(для комплексных г мы принимаем эти формулы за определение). Они также аналитичны во всей плоскости и для них сохраняются обычные формулы дифференцирования. В гиперболическом случае аналогично выражаются chz и she.

Особые точки. И в теории, и в приложениях весьма важную роль играют точки, в которых нарушается аналитичность (или h-аналитичность) функций; такие точки называются особыми. Приведем примеры изолированных особых точек аналитических функций — это простейшие особые точки, которые обладают окрестностями, свободными от других особенностей функции. Такие точки бывают двух родов: однозначного и многозначного характера.

(при z->0 справа по действительной оси эта функция стремится к бесконечности, а слева — к нулю).

аргумент <р числа.

— двигаясь по окружности в одну сторону, мы никогда не вернемся к начальному значению.