Осесимметрическое движение

Движение называется осесимметриче-ским, если все векторы скорости лежат в полуплоскостях, проходящих через некоторую прямую,

называемую осью симметрии, причем во всех таких полуплоскостях картина поля одинакова (рис. 2). Поле скоростей осесимметрического движения полностью описывается плоским полем в любой из таких полуплоскостей.

Ось симметрии мы примем за ось х, а расстояние до оси обозначим через у, через Vx и Vy обозначим, соответственно, координаты вектора скорости в этой системе. Условия несжимаемости и потенциальности имеют в ней вид

которая называется потенциалом скоростей. Мы имеем

удовлетворяет соотношению которое представляет собой уравнение Лапласа, записанное в цилиндрических координатах), так что ср является гармонической функцией декартовых координат.

Согласно первому уравнению (15) выражение — у Vv dx + у Vx dy (также локально) является точным дифференциалом функции которая называется функцией тока. Мы имеем

удовлетворяет уравнению

которое уже не является уравнением Лапласа, так что ij) в декартовых координатах — не гармоническая функция. Функция тока и потенциал связаны соотношениями

Таким образом, осесимметрические движения во многом аналогичны плоским. Из отмеченных выше двух преимуществ плоского движения первое сохраняется для них полностью, а второе только частично: качественную теорию решений системы дифференциальных уравнений (20) построить удается довольно полно, а количественная теория далеко не так развита, как для решений системы (14), т. е. аналитических функций.

=0 справедливо и обратное — для потенциальных течений завихренность равна 0.

— величина скорости, Р—давление, р — плотность). Тогда, применяя к уравнению движения (2) формулу (7), мы можем переписать это уравнение в виде

в котором оно называется уравнением в форме Лэмба. В такой форме уравнение движения удобно применять к движениям с заданной завихренностью.

Остановимся на случае плоского движения. Здесь вектор завихренности

направлен перпендикулярно к плоскости течения и вполне характеризуется скалярной величиной

по формулам (13) и приравнять смешанные производные функции Я, то получится тождество

В приложениях вид этой зависимости обычно считается известным.

Вводя функцию тока в (23), мы получим, что эта функция удовлетворяет уравнению с частными производными

не линейна, то уравнение (26) также является нелинейным и в силу этого оно весьма трудно для исследования. В случае постоянной правой части это уравнение легко сводится к уравнению Лапласа (см. гл. V этой книги).

Аналогичную ситуацию мы имеем и в случае движений с осевой симметрией. И здесь завихренность характеризуется скалярной величиной ш, которая в принятых выше обозначениях (х — координата вдоль оси симметрии, у— расстояние до этой оси) имеет вид (23). Тождество (24) заменяется тождеством

из которого видно, что

— некоторая функция. Функция тока удовлетворяет уравнению