Нелинейные квазиконформные отображения

Обобщение понятия квазиконформности. Как уже говорилось в первой главе, возрастание скоростей течения приводит к необходимости учета сжимаемости, а значит (при изучении плоских задач), к замене системы Коши — Римана нелинейной системой двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными и двумя искомыми функциями:

Ноль теоремы Римана в решении задач обтекания потоками несжимаемой жидкости делает заманчивой перспективу распространения этой теоремы на общие квазиконформные отображения. Однако в такой общей постановке теорема не может быть верной. В самом деле, рассмотрим, например, систему

в правых частях. Легко видеть, что эта система эквивалентна двум уравнениям

Второе из них показывает, что любое квазиконформное отображение, соответствующее системе (3), сохраняет площади областей (якобиан отображения равен 1). Поэтому области с различной площадью оказываются заведомо неотобразимыми друг на друга.

основания с осью х.

= = const (линиями тока и линиями равного потенциала),

)

, т. е. записать их в виде

Второе требование геометрическое, оно состоит в том, чтобы характеристический параллелограмм не вырождался и чтобы его высота росла вместе с основанием. Оно формулируется так: существуют постоянные

такие, что при всех значениях переменных и всех (5

Системы (2), удовлетворяющие этим двум требованиям, называются сильно эллиптическими.

При р = 0 последнее требование сводится к тому,

Как говорилось в гл. I, это — характеристическое свойство дозвуковых газовых течений; условие сильной эллиптичности является его естественным обобщением.

Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования решений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука.

Для случая уравнений газовой динамики (1) эти уравнения имеют очень простой вид:

, а второе

то

мы получим. зависимость

график которой изображен на рис. 29.

).

характеристический  прямоугольник  близок к квадрату, а отображение близко к конформному.

Производные системы. При исследовании нелинейных классов квазиконформных отображений важную роль играют так называемые производные системы. Смысл их введения состоит в следующем. Вместо неизвестных функций и и v будем рассматривать новые переменные

; плоскость переменных т и а называют плоскостью годографа. Доказано (М. А. Лаврентьев [4]), что эти переменные, рассматриваемые в зависимости от и и V, удовлетворяют системе

коэффициенты которой выражаются через уравнения в характеристиках (6) по формулам

— производная в направ-

лении основания характеристического параллелограмма (скорости течения). Система (10) и называется производной системой системы (2).

Более простой вид производная система имеет для систем, уравнения в характеристиках которых не содержат координат, т. е. записываются так:

а остальные коэффициенты

Поэтому, если в производной системе принять т и а за независимые переменные, а и и v — за искомые функции, то после простых преобразований она примет вид

т. е. станет линейной системой.

. Примеры таких задач будут встречаться в дальнейших главах.

Рассматриваемый класс систем содержит, в частности, уравнения газовой динамики (1), для которых уравнения в характеристиках илгеют вид (7). В этом случае производная система записывается так:

можно принять за дуги концентрических окружностей; тогда из рис. 30 видно, что

мы получим

то получится первое

уравнение (14).

мы получаем

получим второе уравнение (14).

называется методом годографа, он получил в гидродинамике и газовой динамике немаловажные применения.

и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смысле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли производных систем в общей теории нелинейных квазиконформных отображений.

В случае уравнений газовой динамики, а тем более — общих нелинейных систем, проверка этих условий может быть довольно затруднительной. Математическое изучение всех особенностей, которые встречаются на пути применения метода производных систем, еще далеко не завершено.