Задачи с переходом через скорость звука

К числу важных и трудных проблем газодинамики относятся проблемы исследования движения, в которых есть как дозвуковые, так и сверхзвуковые зоны. Обычно рассматриваются задачи, в которых сверхзвуковые зоны появляются у стенок — границ потока, или имеется линия, соединяющая границы течения, на которой дозвуковое течение переходит в сверхзвуковое. К числу последних относится и следующая задача.

то по основному свойству дозвуковых течений сужение трубы приведет к увеличению скорости, она достигнет скорости звука, а после этого расширение трубы (по свойству сверхзвуковых течений) также поведет к увеличению скорости.  Так  устроены  сопла  для получения сверхзвуковых течений. Задача состоит в том, чтобы рассчитать это течение и, в частности, найти линию ОВ перехода через скорость звука.

Здесь мы приведем некоторые соображения, связанные с решением этой задачи для модели течений, введенной выше. Пусть линия перехода ОВ в плоскости потенциала задается уравнением u = x(v) величины со стороны сверхзвуковой зоны мы будем отмечать чертой сверху.

и а на линии перехода также будут непрерывными, а это записывается в виде:

, так что основные уравнения (10) § 15 дают

Используя эти соотношения и предыдущие, после простых преобразований мы получим

Отсюда легко заключить, что в рассматриваемой модели переход через скорость звука без разрыва производных модуля или аргумента скорости невозможен. Этот факт отражает особенность нашей модели, он связан с тем, что коэффициенты основных уравнений этой модели при переходе через скорость звука меняются скачком.

Следующий факт, по-видимому, имеет общий характер; он показывает, как должна располагаться линия перехода через скорость звука в сопле. Именно, в плоскости потенциала, а значит, и в плоскости течения, линия перехода располагается до первой характеристики по направлению течения.

Этот факт следует из того, что на всей линии перехода должно выполняться неравенство

причем знак равенства может достигаться лишь в изолированных точках.

. Равенство может достигаться только в изолированных точках, ибо если бы оно достигалось на каком-либо отрезке, то этот отрезок был бы отрезком характеристики; тогда из наших соотношений следовало бы, что на нем а = const, а это нельзя склеить с дозвуковым режимом).

причем равенство может достигаться лишь на изолированном множестве. Покажем, что второй случай невозможен. В самом деле, дозвуковой режим определяет на линии перехода значения

. Так как по формулам (13) § 15 на отрезке [О,h1] оси и должно выполняться условие

возрастать. Но на линии перехода

дифференцирование по v дает

не может возрастать ни на каком отрезке [0, h] оси и. Противоречие доказывает утверждение.

локально гомеоморфно, то таков же

характер расположения этих линий и в плоскости течения.

в дозвуковой области равен

он здесь всегда неположителен и обращается в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой области этот якобиан

может обращаться в нуль и менять знак на характеристиках.

Так как у нас

то, как видно из (10), функция

на линии перехода продолжает быть локально гомео-морфным.

тогда всюду

(отмечена точками на рис. 45).

на ней изменит знак.

Полного решения задачи о сопле с доказательством существования и выяснением условий, обеспечивающих единственность, пока еще получить не удалось ни для классической теории, ни для упрощенной модели.