Волны в тяжелой жидкости

Если считать дно водоема плоским (т. е. Го — совпадающей с осью х), то задача об установившемся волновом движении тяжелой несжимаемой жидкости сведется к следующей задаче теории конформных отображений:

всюду на Г удовлетворялось условие

и Л—некоторая постоянная (интеграл Бер-нулли).

Обозначим через У0 и г/о соответственно максимальное и минимальное значения функции у(х). Из вариационного принципа для отображения полос следует, что

Подставляя это в (5), мы получим

, то мы заключаем, что при

возможны лишь тривиальные движения, для которых Уо = У о, т. е. у(х) = const.

— аналитическая функция со столь малой производной, что ее квадратом можно пренебречь. Таким образом,у нас

  и введения новых постоян-

равную 0 при у — 0 и удовле-

Эта задача решается в элементарных функциях. В самом деле, функция

для выполнения которого необходимы и достаточны соотношения

откуда

можно переписать в виде

оно не имеет решений. Легко видеть, что последнее неравенство совпадает с (6), так что условия разрешимости общей и линеаризованной задачи о волнах оказываются одинаковыми.