Склеивание вихревых и потенциальных течений

Здесь будет описано еще несколько новых моделей для решения классических задач, которые основаны на склеивании потенциальных течений с вихревыми.

тогда  эти функции будут удовлетворять следующим системам дифференциальных уравнений:

Описанная выше схема приводит к задаче о склеивании по непрерывности решений этих систем, удовлетворяющих условиям обтекания, о которых будет говориться ниже. Ясно, что эта задача симметрична: если нам удастся найти в D1 и в верхней половине D0 непрерывную функцию f = u+iv удовлетворяющую системе (1) и такую, что v = О на оси х, то положив f1 = u1 + iu1 где u1(x,y) = и(х, — у), u1(x,y) = — v(x, — у), мы получим, что функция, равная / при у ^ 0 и f1при у < 0, будет непрерывной вне пластинки и удовлетворять системе всюду в D1 U D1 U D0.

Таким образом, задача свелась к следующей: найти линию у, соединяющую конец вертикального отрезка I = [0, ai] сточкой b > 0 оси х так, чтобы существовала непрерывная в верхней полуплоскости с исключенным отрезком I функция f = u+iv, которая в области D1 удовлетворяет системе

а в области D0 аналитична. При этом должны выполняться еще такие условия обтекания: I) v = 0 на всей оси х, 2) и = 0 на отрезке I, 3) u sin а + v cos а = 0 на кривой у, где а — угол наклона касательной к этой кривой (рис. 62).

При заданной скорости в бесконечности для выделения решения нужно задать еще одну из величин со или b (из некоторых допустимых интервалов), другая из этих величин определяется. Расчеты, выполненные на электронных вычислительных машинах, показали, что в определенном диапазоне скоростей эта модель обтекания пластинки дает весьма хорошее совпадение с опытом.

Однако полное математическое решение и исследование задачи натолкнулось на ряд трудностей и еще не завершено. Мы укажем на эти трудности сначала для более простого варианта задачи, в котором отрезок / отсутствует.