Вязкая несжимаемая жидкость

Очень многие практические задачи, связанные с движением жидкости в трубах и каналах или с движением твердых тел в жидкости, нельзя решить без учета вязкости жидкости. Здесь мы очень коротко коснемся некоторых вопросов, связанных с вязкостью.

Уравнения Навье — Стокса. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости  (в отсутствии внешних массовых сил) имеют вид

+

—так называемый тензор напряжений1),

и из закона Стокса, согласно которому тензор напряжений выражается через тензор скоростей деформации

(подробности можно найти, например, в книге С е р р и н а [4], стр. 222).

содержащим вторые производные вектора скорости.

Диссипация энергии. Выясним, как меняется с течением времени кинетическая энергия объема V, движущегося вместе с вязкой жидкостью. Скорость изменения этой энергии, дифференцируя под знаком интеграла и пользуясь основным законом динамики, можно записать в виде

Воспользуемся теперь соотношением

означает свертку тензоров Т и D. Пользуясь им и применяя формулу Гаусса — Остроградского, мы можем переписать (4) в виде

где п — единичный вектор внешней нормали к границеS объема V. Так как T-n = t — вектор напряжений, действующих на 5, то первый член в правой части (5) представляет собой суммарную мощность поверхностных сил. Второй член дает величину диссипации энергии, равную работе в единицу времени сил напряжения, затраченной на деформацию самого объема.

Пользуясь законом Стокса (3), по которому T-D = =—PID+2pvD-D, где I = (6,-j)—единичный тензор, а также несжимаемостью жидкости, вследствие которой

мы можем

переписать выражение диссипации энергии в виде

Эта величина выражает количество механической энергии объема, которое за единицу времени переходит в тепловую энергию