Теоретические основы вискозиметрии

Законы вязкости в равной степени справедливы для течения жидкостей между неподвижными твердыми стенками (русловой поток) и движения твердых стенок вдоль неподвижной жидкости. В условиях ламинарного движения закон вязкости Ньютона позволяет вычислить расход жидкости при ее течении и скорость движения твердых тел в жидкости.

Течение жидкости через капилляр. Рассмотрим весьма важный случай течения жидкости через цилиндрическую трубу малого диаметра (чтобы число Рейнольдса было не слишком велико). Возьмем отрезок такой трубы (фиг. 24) длиной /, радиусом R. Если на концах трубы создана разность давлений Ар, то при ламинарном течении каждая частица будет двигаться параллельно оси цилиндра. В установившемся стационарном потоке все части жидкости движутся параллельно оси цилиндра и все точки, лежащие на одной окружности, будут иметь одинаковую скорость. Течение можно представить себе как смещение ряда цилиндров, имеющих общую ось и различный радиус. Скорость движения цилиндра является функцией радиуса.

Ньютона сила внутреннего трения равна

Из условия стационарности потока следует, что

Подставляя, получим:

Откуда градиент скорости равняется:

Интегрируя, находим, что

Константу интегрирования С можно найти приняв, что слой жидкости прилипает к стенкам трубы, тогда цилиндр, обладающий г=Я имеет v = 0. Откуда

Подставляя, находим:

Это уравнение является уравнением параболы, ось которой совпадает с осью трубы. Выше указывалось, что параболическое распределение скоростей в трубе подтверждено экспериментально. Точки, лежащие в некоторый момент времени в одной плоскости (поперечное сечение капилляра), располагаются через единицу времени на поверхности параболоида вращения, продольное сечение (проходящее через центральную ось) которого показано на фиг. 5. Объем этого параболоида равен объему жидкости, протекающей за единицу времени, т. е. расходу Q. Из формулы объема параболоида вращения находим:

Аналогичное выражение было найдено опытным путем Гагеном и Пуа-зейлем. Выведенная зависимость носит название уравнения Гагена-Пуазейля или, кратко, уравнения Пуазейля.

Из него следует, что расход вязкой жидкости через трубы при ламинарном потоке обратно пропорционален вязкости. Для двух жидкостей при одинаковом давлении и одинаковых размерах трубы имеем отношение

Этим отношением широко пользуются в вискозиметрии. Зная вязкость одной жидкости, можно вычислить вязкость другой, определив расход (время истечения определенного объема жидкости или объем жидкости, вытекающей за единицу времени) обеих жидкостей при постоянной разности давления в одной трубке малого диаметра (капилляра).

Согласно уравнению Пуазейля вязкость не зависит от разности давлений и размеров трубки, через которую протекает жидкость.

, получим:

равны градиенту скорости. Величинаявляется отношением средней

на четыре. Зависимость расхода от давления для жидкостей, подчиняющихся уравнению Пуазейля, в координатах

  должны давать прямые линии, у которых котангенс угла наклона а равен ц (фиг. 25).

В одном приборе или вообще при одинаковом значении / и г

где Сг и С2 — константы прибора.

Таким образом, жидкости, подчиняющиеся закону Пуазейля, определяют линейной зависимостью расхода от давления.

Иногда для проверки применимости уравнения Пуазейля определяют зависимость вязкости от давления или от радиуса и длины капилляра.

Из уравнения (II, 9)

при постоянном V, у жидкостей с постоянной вязкостью

должны получаться прямые линии, параллельные оси абсцисс.

(фиг. 25) соответствует точке перехода от ламинарного течения к турбулентному.

Смазочные масла и светлые нефтепродукты при комнатных температурах также вполне удовлетворительно подчиняются уравнению Пуазейля, а следовательно, и уравнению Ньютона.

При вытекании жидкости из широкого резервуара в трубу ее скорость возрастает. Часть работы внешних сил переходит в кинетическую энергию течения. Соответственно, при выходе из трубы кинетическая энергия жидкости уменьшается. Для учета концевого эффекта некоторыми авторами были предложены поправки к формуле Пуазейля. Значение вязкости с поправкой на концевое превращение кинетической энергии определяется уравнением

где m — коэфициент, значение которого по различным источникам составляет 0,8—1,12. Для труб большой длины отношение второго члена правой части уравнения к первому невелико, и поправкой пренебрегают. При точном и прямом измерении вязкости необходимо учитывать концевые эффекты. Для уменьшения ошибок, связанных с превращением кинетической энергии, прецизионные вискозиметры для определения вязкости калибровочных жидкостей имеют капилляры весьма значительной длины .

Уравнение вязкости Ньютона позволяет описать ламинарное течение жидкости не только через цилиндрические трубки, но через трубы любого

сечения, а также между двумя неподвижными параллельными плоскостями и в ряде других случаев