Основной математический аппарат

Здесь мы введем понятия, на которых строится математическое описание плоских движений идеальной жидкости или идеального газа. Они относятся к теории аналитических и обобщенных аналитических функций.

Комплексные числа и их обобщения

называется вектор

на число (ска-

ляр) К называется вектор

— скаляр, а не вектор), а второе не допускает обратного действия (деление на вектор не определено).

Плоские векторы. Случай двумерных (плоских) векторов составляет приятное исключение. Для таких векторов можно определить умножение, полностью сохраняющее свойства этого действия. Проанализируем различные возможности определения произведения двух плоских векторов Z = (x,y) и z2 = хъ, у%). Пользуясь действиями первой группы, мы можем представить эти векторы как суммы

-1—вектор, направленный по оси х, a iyu —

вектор, направленный по оси у (здесь k= 1, 2, символами 1 и i обозначены единичные векторы осей х и у).

Мы будем вводить умножение так, чтобы соблюдался распределительный закон (закон раскрытия скобок) и переместительный закон, поэтому должно выполняться соотношение

Таким образом, по определению мы полагаем

Остается выяснить вопрос о выполнимости обратного действия—деления, для чего, как известно из алгебры, достаточно существования у каждого вектора а +ib ф О обратного к нему вектора z — х + iy такого, что (a+ib) (х + iy) = 1. Согласно (1) последнее равенство переписывается в виде системы уравнений

  Обозначим

т. е.

определитель Д представляет собой сумму квадратов и обращается в нуль лишь при а = b = 0. В этой части, следовательно, допустимо деление на все векторы, отличные от нуля. Вторую часть (//) составляют точки параболы  х = 0,  для них

которая проходит через на-

чало координат и параллельна касательной к параболе в фиксированной точке (а, р). В третьей части (///), где

имеет ненулевые решения. Последнее означает, что существуют делители нуля — отличные от нуля векторы a -f ib и х -4- iy, произведение которых равно 0.