Диффузия вихревой нити

Приведем, наконец, пример автомодельной задачи, которую благодаря размер-ностным соображениям удается решить полностью. Пусть в вязкой жидкости в момент времени / = 0 имеется распределение скоростей, соответствующее прямолинейной вихревой нити; требуется найти распределение скоростей в следующие моменты.

В начальный момент во всех плоскостях, перпендикулярных оси х, поле скоростей одинаково и имеет вид

останутся равными нулю, a Ve будет зависеть от г и t.

— скорость через нее выра-

жается. В самом деле, по формуле Стокса, примененной к кругу радиуса г с центром на оси х, мы получаем

(р — переменная интегрирования).

Изменение завихренности описывается уравнением Гельмгольца (3) § 3, которое в нашем случае имеет вид)

и следующим начальным условием: при t = 0 функция со (г, 0) равна 0 всюду, кроме точки r = 0, где она бесконечна, причем

(г, 0) является обобщенной функцией).

Перейдем к рассмотрению размерностных соображений. Из характера задачи ясно, что, кроме переменных гиг, завихренность зависит еще от двух параметров v и Г, так что

Размерности величин, сюда входящих, таковы:

  и на основании я-теоремы

заменить (19) зависимостью

Мы видим, что задача является. автомодельной, и уравнение с частными производными (17) в ней можно заменить обыкновенным дифференциальным уравнением.

мы для простоты не пишем):

обыкновенное дифференциальное уравнение

вместе с производными достаточно быстро убывает на бесконечности). В автомодельных переменных это соотношение принимает вид

и, следовательно, решением исходной задачи является

Так происходит изменение (диффузия) завихренности в нашей задаче. По формуле (16) можно найти и закон изменения скоростей

Задача решена полностью.