Физическая интерпретация

Описанные основные факты интегрального исчисления аналитических функций имеют прямую гидродинамическую интерпретацию. Пусть в односвязной области D задано течение идеальной несжимаемой жидкости без источников и вихрей. Как мы видим, величина, комплексно сопряженная скорости течения, выражается аналитической в D функцией— производной комплексного потенциала:

Согласно формуле (7)

(касательного вектора к кривой у); он равен сумме касательных составляющих вектора скорости:

Точно так же второй интеграл берется от скалярного произведения вектора V и вектора dn = —i dz = dy — — idx, который получается из dz поворотом на 90° по часовой стрелке (рис. 17), т. е. вектора нормали к у; он равен сумме нормальных составляющих вектора V:

Физически этот интеграл означает количество жидкости, протекающей за единицу времени через кривую у в направлении нормали dn, — так называемый расход жидкости.

Подынтегральные выражения в (12) и (13) равны, соответственно, дифференциалам потенциальной функции и функции тока:

поэтому интегралы равны приращениям этих функций, и (11) можно переписать в виде

где а и Ъ — концы у. Мы получили физическую интерпретацию формулы Ньютона — Лейбница.

Пусть у — замкнутая кривая, лежащая в односвязной области течения с описанными выше свойствами. Теорема Коши, примененная к производной комплексного потенциала течения, сводится к утверждению, что для этой кривой

равно количеству жидкости, вытекающей из него. Такова физическая интерпретация теоремы Коши.