Проблемы гидромеханникиИнтегральная формула Коши
 могут быть отличными от нуля.)
 , которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция f аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание D (так называется область вместе с ее границей); мы покажем, что в этих условиях
 равен нулю, но по элементарным свойствам интегралов он равен
 и непрерывно продолжается на границу; тогда значение f в любой точке z области определяется через ее граничные значения по формуле
 поэтому теорема Коши к ней неприменима. Но мы можем воспользоваться формулой (16), применив ее к области D, из которой исключен малый кружок с центром в точке z радиуса r. По этой формуле
 следовательно, интеграл в правой части (18)
 —формула (17)
доказана
 мы найдем
Эта формула показывает, что аналитические функции очень правильно устроены — их значение в каждой точке равно среднему арифметическому значению на достаточно малой окружности с центром в этой точке (теорема о среднем). Из нее можно снова получить принцип максимума модуля, о котором мы говорили выше.
|
