Области типа полуплоскости

ни с одной стороны не приближается асимптотически к характеристикам.

Мы докажем сейчас, что такую область можно h-конформно отобразить на верхнюю полуплоскость, и притом бесчисленным множеством способов; именно можно еще задать возрастающее и гладкое соответствие точек Г и действительной оси.

обратное к искомому, также удовлетворяет системе (1), поэтому его можно представить в виде

откуда находим

ибо если хоть одна

из них стремится к конечному пределу, то, как видно из (5), кривая Г асимптотически приближается к характеристике.

можно однозначно обратить, и мы полу-

и

с заданным соответствием

границ.

Мы видим, что h-конформные отображения (если они существуют) обладают гораздо большей неопределенностью, чем конформные — вместо соответствия трех граничных точек можно задавать соответствие всей границы. Однако можно указать естественные дополнительные условия, при которых число параметров, определяющих h-конформное отображение, будет такое же, как для конформных отображений.

углового коэффициента касательной к Г:

эквивалентно условию существования пре-

существуют и отображения, для которых такой пульсации нет (рис.. 37), и их оказывается столько же, сколько и конформных отображений.

причем равенства могут достигаться лишь в изолированных точках.

причем можно задать соответствие границ на некотором участке Го, зависящем от вида области D.

  (с равенством в изолированных точках) и которая не приближается асимптотически к характеристикам. Если мы сумеем построить /z-кон-формное отображение на полосу области, ограниченной осью и и кривой Г*, то композиция этого и предыдущего отображений будет /i-конформно отображать D на полосу.

, и, следовательно, искомое отображение имеет вид

Условие соответствия Г и прямой v = 1 приводит к тождеству

, и, следовательно, тождество (7) можно переписать в виде

в каче-

условия (9) обеспечивают непрерывность и гладкость такого продолжения.

мы таким

и т. д.

можно задавать произвольно (с соблюдением условий (9), точнее — их аналога для любого п); а тогда уравнение (8) позволит продолжить эту функцию на всю числовую ось. Если после этого построить отображение по формулам (6), то нетрудно проверить, что оно и будет искомым.

она содержит произвол в задании отображения на целом отрезке. Но по-прежнему этот произвол можно снять, если наложить ограничения на асимптотическое поведение отображающей функции, которые сводятся к устранению излишних пульсаций в бесконечности.

гиперболической производной этого отображения.

Чтобы вычислить этот предел, заметим, что для всех х

Продолжая это рассуждение, мы строим последовательность точек хп:

выписываем для k = 2, 3, ..., п соотношения, аналогичные предыдущим, и объединяя их, находим

получим

определена с точностью до постоянного слагаемого. Наше утверждение доказано.