Влияние вариации границы

В предыдущей главе мы говорили о том, что влияние вариации границы отображаемой области на конформное отображение быстро (по экспоненте) убывает по мере удаления от места вариации. Этот эффект лежит в основе вариационных методов и вывода приближенных формул теории конформных отображений. Он присущ решениям не только системы Коши — Римана, но и других систем эллиптического типа.

Легко видеть, однако, что для простейшей системы гиперболического типа — системы (1) эффект не имеет

места: влияние границы распространяется по характеристикам без затухания внутрь области. Рассмотрим для примера h-конформное отображение на верхнюю полуплоскость области, которая получается из верхней полуплоскости выбрасыванием треугольника (рис. 39). Если ограничиться отображением без пульсаций на бесконеч ности, то в представлении (4) обратного отображения

:

будут выглядеть так, как показано на рис. 39. До первой характеристики х + у = — а, выходящей из левой вершины треугольника (зона I), и после второй х — у = а, выходящей из правой вершины (зоны VI), они будут прямыми, параллельными оси х, — в этих зонах влияние треугольника не сказывается; то же будет в зонах II и III. В зонах же IV и V линии тока будут ломаными; в них влияние границы без затухания распространяется в область.

Эффект распространения влияния границы внутрь области по характеристикам присущ системам гиперболического типа.