Модель уравнений газовой динамики

Классические уравнения. Еще раз напомним уравнения плоских установившихся течений идеального газа:

для адиабатических режимов

как функции от скорости V; для адиабатических режимов график этой зависимости показан на рис. 40.

соответствует сверхзвуковым течениям, здесь при росте скорости расход падает и система (1) имеет гиперболический тип. Величина Vm— максимально возможная для данного газа скорость.

Система (1) — нелинейная система уравнений с частными производными. При режиме (2) из нее можно исключить одну из функций, скажем, функцию тока, и тогда для потенциальной функции мы получим квазилинейное уравнение

—квадрат скорости звука

Математическое исследование системы (1) при адиабатическом режиме (2) или — что то же самое — уравнения  (3)  довольно затруднительно.  Поэтому при изучении качественных вопросов, связанных с течениями газов, естественно попытаться ввести некоторый фиктивный газовый режим так, чтобы, с одной стороны, максимально упростить математический формализм и, с другой стороны, сохранить общий характер явлений.

Выбор модели. Такого рода упрощения впервые сделал С. А. Чаплыгин, который еще в 1902 г. в своей знаменитой работе О газовых струях предложил считать плотность зависящей от скорости по закону

Это соответствует тому, что в формуле (2) показатель адиабаты у, который по физическому смыслу всегда положителен и даже больше 1, принимается равным —1. Получаемый таким образом фиктивный газ называется газом Чаплыгина, соответствующее ему уравнение для потенциала имеет вид

Это — уравнение минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, которые имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей с данной границей (например, мыльных пленок, натянутых на данный контур). Ему посвящена обширная литература и оно поддается исследованию несколько легче, чем уравнение (3). Однако, во-первых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозвуковые течения, перемена типа в ней невозможна. Построены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. И. Седова [2].

Можно было бы попытаться моделировать систему (1), заменив ее парой простейших систем соответствующего типа: для дозвуковых режимов — системой Коши— Римана, а для сверхзвуковых — системой, описывающей р-аналитические функции. Однако такая модель слишком груба, в ней разрывны основные характеристики течения. Качественные явления газовой динамики существенно лучше отражает модель, предложенная М. А. Лаврентьевым в 1955 г., в которой указанная пара простейших систем моделирует не саму систему (1), а ее производную систему. Сверхзвуков вая часть модели была рассмотрена в работе М. М. Лаврентьева [7].

= 1, т. е.

График зависимости W — — W(V) для нашего режима изображен на рис. 41.

а расход всегда остается большим 1.

от давления Р, которая

где угловой коэффициент касательной к ней равен —1, и горизонтальной прямой р — 1 (рис. 42). В самом деле, из уравнений движения в форме (8) для установившихся безвихревых плоских движений

из (5) мы получаем прямую

имеем  W = V, т. е.

р = 1 — на графике мы получаем горизонтальную прямую.

равна 1 в дозвуковом

поэтому система (1) для нее имеет вид

мы получим обычное уравнение Лапласа

уравнение гиперболического типа

похожее на (3). Эти уравнения можно объединить, и мы получим

Аналогичным образом можно исключить функцию и, и мы получим уравнение для функции тока:

и гиперболично при

Рассмотрим теперь производную систему для нашей модели. В гл. III мы отметили, что для системы уравнений газовой динамики она имеет вид

поэтому производная система запишется так:

Введем еще функцию от скорости:

подобран так, чтобы эта функция была непрерывной. Теперь уравнения для производной системы примут вид

т. е. при дозвуковых скоростях будут совпадать с простейшей эллиптической, а при сверхзвуковых — с простейшей гиперболической системой (точнее, отличаться от нее несущественным постоянным множителем b).

и всегда сохраняет ориентацию.

представляет собой антианалитическую функцию. В сверхзвуковой области решения нашей системы допускают простое представление. В самом деле,

т. е. также прямые

характеристики двух семейств ортогональны друг другу, а при увеличении V угол между ними уменьшается (рис. 43, а). В классической теории характеристиками в плоскости годографа являются эпициклоиды, причем на линии перехода характеристики различных систем касаются друг друга (рис. 43, б).

  в дозвуковой зоне равны

и обращаются в нуль лишь в изолированных точках. В сверхзвуковой зоне эти якобианы равны

они могут обращаться в нуль и менять знак на характеристиках.

  мы находим

из системы (1) получаем

и тогда получим

Введем, наконец, новые переменные u+v = s, и — v = t, так что хи + xv = 2xs, ..., и тогда интегрированием найдем искомое представление:

Для простоты письма можно еще ввести функции

тогда будем иметь

Из формул (17) легко получить некоторые сведения о характеристиках в плоскости течения. Именно, вдоль характеристики первого семейства и + v = С1 имеем

а вдоль характеристик второго семейства и — v = с2

Отсюда и из (13) видно, что направление биссектрисы угла между характеристиками

совпадает с направлением вектора скорости; угол между скоростью и характеристикой {угол Маха) равен