Струи

В этой главе будут рассмотрены некоторые сравнительно новые задачи, которые связаны со струями конечной ширины. Начнем с описания общих свойств таких струй.

Струи конечной ширины

Струи с завихренными зонами. Рассмотрим еще один вариант задачи о склейке из числа тех, о которых говорилось в гл. V. Движение происходит в области D типа полосы, нижней границей которой является ось х, а верхней— линия Г с горизонтальной асимптотой y — h при

вторую (линию склейки) — из условия непрерывности поля скоростей и того условия, что она является линией тока.

то найдется значение п0 такое, что при h <. h0 задача оказывается неразрешимой.

а, с другой стороны, эта точка близка к точке (а, 0), где скорость равна 0. Это противоречит ограниченности производных скорости, и следовательно, в наших условиях течений с очень малыми h существовать не может.

у вершины обтекаемого угла (где в потенциальной схеме скорость течения обращается в нуль) возникает завихренная зона.

Мы приходим к такой модели движения: область течения делится линией тока у на две области —D0 (неограниченную) и D1 (ограниченную), в первой из них

ширина струи h и величины завихренности считаются заданными, а линии Г и у ищутся из соответствующих условий. Здесь также было бы интересно получить количественные оценки для величины h = h0, отделяющей случаи разрешимости и неразрешимости задачи, в зависимости от других параметров.

Еще ближе к действительности схема неустановившегося движения. Такими движениями мы займемся в следующей главе, а здесь лишь рассмотрим постановку, связанную с задачей обтекания угла. В реальной жидкости под влиянием вязкости размер завихренной зоны с течением времени будет увеличиваться. Кроме того, вследствие трения о нижнюю стенку угла на эту зону будет действовать сила, направленная вправо, а силы сцепления с вертикальной стенкой будут ее удерживать. В результате завихренная зона, увеличиваясь, приобретает склонность вытягиваться в горизонтальном направлении. По достижении некоторого критического размера вихревая зона срывается со стенки и уносится потоком. После этого вблизи вершины угла образуется новая вихревая зона, которая растет до критического размера и вновь срывается и т. д.

Было бы весьма интересно построить математическую модель обтекания угла по этой схеме и, в частности, оценить критический размер вихревой зоны, по достижении которого она срывается.

Первая из рассмотренных здесь задач может служить основой для построения модели образования вихрей в струях, если наряду с течением, изображенным на рис. 77, рассмотреть еще течение, симметричное с ним осносительно оси х. Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. IX.

Косой удар струи о прямую. Эта классическая задача решается методами комплексного анализа. Рассмотрим комплексный потенциал £ =/(z) = ср(г) + -j-np(z) течения; он определяется с точностью до постоянного слагаемого, которое мы подберем так, чтобы в точке разветвления потока 2 (рис. 79) (мы примем ее за начало z = 0) было f = 0. На свободных границах струи Г и Г функция тока гр принимает постоянные значения, пусть это будут с? на Г и —q на Г; значения гр на прямой, о которую ударяет струя (мы примем ее за ось х), пусть равны 0. Функция / конформно отображает область течения на полосу {—q < гр < а) с разрезом вдоль отрицательной полуоси ср (рис. 79).

Пусть z = g(t}) будет функция, обратная /; рассмотрим аналитическую в нашей полосе с разрезом функцию

w = Ф + М = log g (?) = log I g (?) I + Aarg g{Q.  (1)

Величина скорости |/(z) | на границах Г и Г полосы принимает постоянные значения, равные К; не ограничивая общности, мы можем считать   — 1. Так как

а такое отображение можно выписать элементарно. В самом деле, как нетрудно проверить, функция

на полуполосу Д, а обратное к такому отображению выписывается просто:

Подставляя это в (2), мы находим отображение, обратное к искомому:

, а тогда

Так как у нас —1 <

. Полученное уравнение легко разрешается относительно w, и после вычислений мы получаем, что в окрестности начала струи

отсюда снова получаем