Влияние вязкости

Вязкость жидкости приводит к диссипации энергии, поэтому движение вихря в отсутствии внешних сил становится нестационарным. Можно было бы ожидать, что закон движения и распределение завихренности в кольцевом вихре определяются начальными и краевыми условиями и, следовательно, существенно зависят от способа образования вихря. Однако опыт показывает, что дело обстоит не совсем так.

Классический способ образования вихря состоит в следующем: в верхней крышке коробки с эластичным дном делается отверстие, диаметр которого существенно меньше, чем размеры коробки. К отверстию могут прикрепляться насадки в виде сопел различной формы. Коробка наполняется дымом, после чего по дну производится удар.

При малых числах Рейнольдса, определяемых радиусом и скоростью вихря, образуется ламинарный вихрь

с четко выраженной спиральной структурой, хорошо видимой на фотографиях) (рис. 124, а). В этом случае распределение завихренности действительно определяется начальным полем скоростей, формой насадки, зависит от того, плавный или резкий был удар, и т. д. Это движение в принципе может быть описано с помощью уравнений Навье — Стокса, но решение соответствующей нестационарной задачи, даже с применением вычислительных машин, связано с огромными трудностями.

С другой стороны, начиная с Re ~ 103; характер движения резко меняется, оно становится турбулентным (рис. 124,6). В этом случае, как показывает опыт, структура кольцевого вихря не зависит (или, по крайней мере, зависит очень слабо) от деталей начальных и краевых условий. После того, как вихрь проходит расстояние порядка нескольких радиусов отверстия, вырабатывается некоторое распределение завихренности, вообще не зависящее от способа образования вихря. Усредненное движение в турбулентном вихре определяется только размером и скоростью вихря. При дальнейшем движении, как показывает эксперимент, размеры вихря линейно увеличиваются с пройденным расстоянием, причем форма вихря преобразуется подобно.

Турбулентная вязкость. Турбулентное движение вязкой жидкости, как известно, не описывается замкнутой системой уравнений — в каждом конкретном случае для получения такой системы приходится выдвигать дополнительные гипотезы, т. е. рассматривать какую-либо модель движения.

В безграничном пространстве турбулентно движущуюся жидкость можно описывать как жидкость, обладающую некоторой, как говорят, турбулентной вязкостью v*, отличной от истинной кинематической вязкости. Такое феноменологическое описание свободной турбулентности (в отсутствии границ) дает хорошие результаты в теории турбулентных струй и в некоторых других случаях.

Турбулентный характер движения жидкости в кольцевом вихре можно описать введением коэффициента турбулентной вязкости v*. Предположим, что этот коэффициент есть некоторая функция времени, не зависит от пространственных координат и определяется характерными масштабами движения (размером и скоростью вихря). Более того, предположим, что

— постоянная, величина которой должна определяться сравнением результатов расчета с экспериментом.

Опыт показывает, что на значительном участке движения вихря турбулентная вязкость во много раз больше кинематической, и последней можно пренебречь. Окончательно получаем следующее: усредненное движение турбулентного вихря описывается уравнениями Гельмгольца (гл. I), в которые вместо кинематической вязкости v входит турбулентная вязкость v*.