Размерностный подход

Во многих задачах механики можно получить полезную информацию, если использовать соображения, основанные на анализе размерностей величин, существенных для рассматриваемой задачи. Здесь мы кратко опишем, как это делается, отсылая за подробностями к книге Л. И. Седова [6].

и записывают это в виде

Так, в механике обычно пользуются системой единиц CGS, в которой за основные величины приняты длина L (в см), масса М (в г) и время Т (в сек). В этой системе, например, скорость, ускорение, плотность, давление и энергия и-меют размерности

тогда для этой функции должно выполняться соотношение

Требование сохранения размерности, несмотря на его большую общность, дает повод к высказываниям о характере зависимости /, которые в ряде задач могут оказаться весьма полезными.

имеют независимые

размерности. Это означает, что размерность ни одной из этих k величин нельзя выразить в виде произведения размерностей других величин (из них же) в некоторых степенях. Число k величин с независимыми размерностями не может превышать числа п основных единиц.

независимы, а размерности плотности

— зависимы, j

можно выразить через

Поэтому можно составить безразмерные комбинации

Предположим, что величина р выражается через р1, ... ..., рт по формуле (3) и, значит, можно составить безразмерную комбинацию

Тогда зависимость (3) равносильна следующей зависимости между безразмерными величинами:

Это утверждение известно под названием я - теорем ы. Его доказательство можно найти в книге Л. И. Седова [6]. Преимущество зависимости (7) перед (3) в меньшем числе независимых переменных: в (3) их т, а в (7) m — k. В ряде задач это преимущество оказывается решающим. В частности, если k = m, то  соображениями,  основанными на размерности, величина р определяется с точностью до постоянного множителя:

который находится или экспериментально, или в процессе решения соответствующей математической задачи.

Выбор k параметров с независимыми размерностями из т параметров, определяющих величину р, можно производить разными способами. При этом вид функции F в я-теореме, конечно, меняется, но число независимых переменных всегда снижается с т до т — k.