Автомодельность

В задачах механики искомые величины, как правило, являются функциями времени t, координат х, у, г и некоторых постоянных величин аи ..., ат, существенных для данной задачи,

Число основных единиц, как мы говорили, в этих задачах равно 3.

Пусть в результате приведения зависимости (9) к безразмерному виду мы получаем, что безразмерная искомая величина зависит только от комбинаций

где Ъ — постоянная, [b] = L7-P, и еще от некоторых постоянных безразмерных комбинаций. Задачи, в которых это происходит, называются автомодельными.

В автомодельных, задачах число независимых переменных снижается на 1: вместо х, у, z и t мы имеем три величины (10), и тем самым эти задачи упрощаются. Особенно существенное упрощение из-за автомодельно-сти достигается в задачах, в которых искомая функция зависит от времени и только от одной пространственной координаты — здесь вместо уравнений с частными производными мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение.

В заключение приведем несколько примеров применения размерностного подхода.

Удар струи о плоскость. Пусть струя невязкой несжимаемой жидкости плотности р, которая в бесконечности имеет радиус г и скорость V, ударяет о плоскость,

наклоненную к оси струи под углом а (рис. 9). Требуется найти силу F, с которой струя действует на плоскость. Давление вне струи мы считаем равным 0 и пренебрегаем силой тяжести. Так как жидкость невязкая, то F будет направлена перпендикулярно плоскости, и остается найти ее величину F. Эта величина определяется параметрами р, V, г и а, т. е. имеет вид

I

является безразмерной величиной. Так как размерности р, V и г2 независимы, то на основании я-теоремы зависимость (11) можно заменить такой:

Вид функции f можно определить либо решая соответствующую задачу, либо опытным путем. Переход от зависимости (11) к (12) сильно сокращает число опытов, ибо теперь р, V и г можно считать постоянными и менять лишь угол а.

Сфера в вязкой жидкости. В несжимаемой вязкой жидкости с коэффициентом вязкости V и плотностью р движется с постоянной скоростью V сфера радиуса г; требуется найти силу сопротивления F, действующую на сферу.

В этой задаче

но из размерностных соображений, аналогичных тем, которые проводились в предыдущей задаче, эту зависимость можно заменить другой:

— число Рейнольдса.

Определение вида функции f является важной и трудной задачей гидродинамики. В полном объеме она еще не решена, так что с теоретической точки зрения размерностный подход к успеху не привел. Но с точки зрения экспериментальных исследований достигнуто серьезное преимущество — вместо функции четырех переменных теперь нужно исследовать функцию одного переменного f (Re).