Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний

Фазовые траектории

и метод точечных преобразований

Понятие о фазовом пространстве, о фазовых траекториях и их типах было уже дано выше. В данном параграфе на примерах построения фазовых траекторий для простейших систем второго порядка будут проиллюстрированы некоторые важные особенности процессов в нелинейных системах автоматического управления.

Пример 1. Возьмем систему автоматического управления с объектом без са-мовыравииваиия и с приводом управляющего органа, имеющим постоянную скорость. Уравнение объекта будет

получим

— относительные изменения управляемой величины, смещений чувствительного элемента, управляющего органа, элемента обратной связи и управляющего золотника (рис. 10.11, а), 5 — коэффициент.

с зоной нечувствительности (рис. 16.22, з) вследствие наличия перекрытия золотника или струйной трубки. В первом случае уравнение привода управляющего органа будет

будут иметь место при

справа.

получаем

откуда находим уравнения фазовых траекторий

совпадает со знаком у. В соответствии с этим па рис. 17.1, а укажем стрелочками направление движения изображающей точки М но фазовым траекториям. Аналогичным путем легко строятся параболы слева от прямой ЛВ.

В результате, как видно из общего расположения фазовых траекторий (рис. 17.1, а), получается устойчивая система с затухающим колебательным переходным процессом. Но число колебаний будет конечным. В самом деле, здесь имеется особый отрезок СО, в который вливаются все фазовые траектории. Чтобы выявить поведение системы па этом отрезке, вспомним, что для пего согласно (17.7) и (17.5)

Следовательно, попав на отрезок СО, изображающая точка не можете него уйти, и система будет апериодически приближаться к установившемуся состоянию, т. е. изображающая точка будет сползать по отрезку СО к началу координат О. Таким образом, имевший место вначале колебательный переходный процесс после конечного числа колебаний вырождается в этот так называемый скользящий процесс.

из (17.7) в выражение (17.10), найдем точку С:

а также все последующие отклонения, число колебаний и т. п.

) на фазовой плоскости соответствуют согласно (17.6) две наклонные прямые (рис. 17.1. б):

(причем Ъ > 0).

из (17.4), (17.6) и (17.5) получаем

(прямые, параллельные оси х в полосе AB на рис. 17.1, б).

получим прежние параболы. В результате снова система оказывается

, т. е. установившееся состояние определяется неоднозначно. Это соответствует тому, что система может находиться в равновесии в любом месте внутри зоны нечувствительности. Здесь точно так же возможен скользящий процесс, как и в случае рис. 17.1, а.

В данном примере система оказывается устойчивой при любых значениях параметров и при любых начальных условиях. Однако здесь для получения системы второго порядка была проведена грубая идеализация уравнений (пренебрежение массой и демпфированием).

Пример 2. Допустим, что требуется стабилизировать угловое положение некоторого тела, например космического аппарата, когда сопротивлением среды его вращению можно пренебречь. Уравнение объекта будет

— угол поворота тела; со — его угловая скорость; М - управляющий момент со стороны исполнительного органа системы стабилизации.

Уравнение управляющего устройства запишем в виде

  )

так как это составляет один полный оборот тела (рис. 17.2). Изобразим процесс управления на фазовой плоскости. Уравнение всей системы согласно (17.11) и (17.12) будет

Умножив почленно уравнение (17.13) на выражение

получим дифференциальное уравнение фазовой траектории

В ре-

зультате для каждого отдельно взятого участка уравнение фазовой траектории будет

— значения <р и со в начальной точке данного участка.

Зададим начальные условия процесса:

Для данной начальной точки процесса (см. рис. 17.2) имеем Ф = 0. Поэтому на первом участке процесса согласно (17.15) уравнение фазовой траектория будет

(участок 1-2 на рис. 17.2), причем в точке

— это одна и та

, Поэтому

дальнейшее движение согласно (17.15) пойдете постоянной скоростью

до точки 3 (рис. 17.2). Таким образом, в рассмотренной начальной части процесса управления тело совершило один полный оборот, но в конце этого оборота скорость вращения его стала меньше начальной.

в результате чего

фазовая траектория будет

Это означает, что тело больше не совершит полного оборота, а начнет (с точки Л) возвращаться в сторону пулевого положения.

. Следовательно, из (17.18) угловая координата ее будет

определяется по формуле (17.17).

), после чего

тело войдет в установившийся автоколебательный режим, определяемый предельным циклом (5-6-7-8). Уравнение параболы 7-5согласно (17.15) будет

будет

, в то время как амплитуда угловых колебаний (17.19) несколько больше зоны нечувствительности измерителя угла Ь.

можно вычислить как сумму времен:

—времена участков (6-7) + (8-5) и(5-6) + (7-8)соответственно.

По законам равномерного и равнозамедленного движений соответственно получаем

Итак, установившийся режим стабилизации в данной системе является автоколебательным. Однако уравнение системы (17.13) справедливо только для идеальной системы стабилизации. Всякое реально имеющееся запаздывание в работе усилительно-преобразовательного и исполнительного устройств приведет к увеличению амплитуд автоколебаний по сравнению с полученными здесь значениями. Решение задачи с учетом постоянных времени системы управления будет дано в следующей главе.

Пример 3. Уравнения системы автоматического управления курсом торпеды в упрощенном варианте имеют вид: линейная часть (16.40) и (16.41), т. е.

и нелинейное звено (возьмем сначала один случай — рис. 16.18, в)

неустойчиво, но будет иметь место автоколебательный процесс.

(угол отклонения

и угловая скорость отклонения оси торпеды от заданного курса). Уравнения (17.20) и

(17.21) перепишутся в виде

Из сравнения этих уравнений с упрощенными уравнениями системы стабилизации температуры в конце § 16.1 видна их полная аналогия. Поэтому здесь, так же как и в случае рис. 16.15, установившийся процесс движения торпеды будет автоколебательным, причем картина фазовых траекторий будет иметь вид, показанный на рис. 17.3, а.

чтобы выполнялось условие

т. е. согласно (16.31)

Значения же (17.23) дают амплитуду q колебаний скорости у. Можно все это определять и графически прямо по чертежу (рис. 17.3, а). Период автоколебаний остается неизвестным.

Введем теперь в характеристику нелинейного звена (рулевой машинки) зону нечувствительности, как показано па рис. 17.3,6, в. Так, па том участке характеристики

  из (17.22) следует, что

па фазовой плоскости

будет и в нижней части плоскости. Все

предельный цикл вырождается в точку О.

, т. е. к увеличению установившейся ошибки системы из-за слишком широкого участка равновесия.

При м е р 4. Рассмотрим систему стабилизации напряжения, уравнения которой были составлены в§ 16.2, а именно:

Тогда уравнения (17.24) преобразуются к виду

, В результате получаем, что выше линии ЕРСП

будет

Рассмотрим сначала верхнюю область. Для нее, деля (17,28) па (17.27), с учетом (17.30) получим уравнение фазовых траекторий

где z— новая переменная вместо у.

решения не будут исследоваться).

Чтобы представить себе всю совокупность фазовых траекторий, можно провести на фазовой плоскости прямую

и ко всем ординатам этой прямой добавлять

произвольные значения (каждому значению С, будет соответствовать определенная фазовая траектория). Это будут параболы степени у с осью

и с единым началом в точке Я (рис. 17.4), имеющей координаты

На рис. 17.4 показаны все ветви этих парабол, лежащие выше линии ЕРСD (так как только там справедливы данные выкладки). Направления стрелок на полученных фазовых траекториях определяются тем, что проекция скорости изображающей точки

касательные к фазовым траекториям горизонтальны).

согласно (17.31).

Определить фазовую траекторию, образующую этот предельный цикл, можно как такую кривую (17.33), у которой

(ибо, как было показано ранее, в точках этой прямой касательные к фазовым траекториям горизонтальны).

т.е. амплитуда автоколебаний напряжения заключена в интервале

имеет вид

При написании уравнения линейной части системы (16.53) пренебрежем постоянными времени (чтобы иметь возможность рассматривать уравнение всей системы как уравнение второго порядка), а именно:

Подставив это в уравнения объекта (17.39) и обозначив

получим уравнение всей следящей системы в целом:

и

т. е.

система будет в равновесии, изображается па фазовой плоскости отрезком АВ (рис. 17.5). Вне этого отрезка согласно (17.41) необходимо отдельно

, т. е. верхнюю и нижнюю половины

(17.41) имеем

Это уравнение совпадает с уравнением (16.23), но со сдвигом на величину

), но со сдвигом начала координат в точку А, что и сделано на рис. 17.5, а и соответственно.

имеем уравнение

В обоих случаях (рис. 17.5, а и б) система устойчива, причем в первом случае переходный процесс состоит из конечного числа затухающих колебаний, а во втором

где с — абсолютное значение

момента сухого трения при движении управляемого объекта.

Заметим, что произведенное здесь упрощение уравнений системы хотя и позволило решить их точно, но это решение, дающее в результате устойчивость системы при любых числовых значениях параметров системы, неполно отражает действительную картину явлений в данной нелинейной системе.