Нелинейные системы второго класса

Нелинейные системы второго класса - это системы с несколькими нелинейными звеньями или же с одним нелинейным звеном, когда под знаки нелинейных функций входят две или более переменных, связанных между собой линейными передаточными функциями или нелинейными уравнениями. Обычный прием приближенного решения, излагаемый ниже в примерах 1 -3, справедлив при соблюдении условия фильтра, оговоренного в § 18.2, для всех передаточных функций, связывающих указанные неременные. Если это условие не соблюдается, применяется специальный прием решения, изложенный ниже в примере 4.

Пример 1. В предыдущем параграфе рассматривалось влияние нелинейности привода, а затем влияние квадратичного трения по отдельности. Рассмотрим теперь

как в уравнении

(18.90), или, что то же самое, графиком на рисунке 18.24, а. Нелинейный привод пусть имеет характеристику типа насыщения (рис. 18.24, б).

  (18,90) примет вид

и определяется графиком рис. 18.24,6.

В данном случае получается нелинейная система второго класса Приближенно полагаем, что при автоколебаниях

~ — модуль и аргумент амплитудно-фазовой характеристики линейной

части, получаемой из уравнения (18.67), которое согласно (18.129) надо умножить на p. В результате получим

что изображено графически на рис. 18.24, в.

входят раздельно, то и

гармоническую линеаризацию можно производить для каждой из них отдельно. К нелинейности в левой части уравнения (18.129) применяем формулы из прежнего примера 3 (с квадратичным трением), а к нелинейности в правой части — формулы (18.65) и (18.66), в которых, в соответствии с (18.130), вместо а подставляем Аа. В результате нелинейное уравнение (18.129) принимает вид

где

причем Л (со) определяется формулой (18.131) или графиком рис. 18.24, в.

Из уравнений (18.132) и (16.53) получаем гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

находим:

следующим образом.

показанную на рис.18.24, г.

):

. В точках

После этого по второй из формул (18.134) подсчитаем величину параметра к.

При этом согласно (18.134)

Пример 2. Пусть в системе, функциональная схема которой изображена на рис.

18.25, управляемый объект описывается уравнением

измеритель 1 — нелинейный (рис. 18.26) —

измеритель 2 — линейный —

линейный усилитель-преобразователь вместе с линейным исполнительным устройством —

задана в двух вариантах, обусловленных разными

режимами работы исполнительного устройства — релейным (рис. 18.27, а) или непрерывным (рис. 18.27, б).

Будем определять автоколебания приближенно в виде

входящими под знаки нелинейностей, со-

гласно рис. 18.25 идет через нелинейное звено. Следовательно, данная система является системой второго класса (с двумя нелинейными звеньями).

Гармоническая линеаризация нелинейностей согласно § 18.1 дает

и для двух вариантов исполнительного устройства соответственно

).

запишется теперь согласно (18.136), (18.137) и (18.140) в виде

будет далее использовано.

Составим теперь характеристическое уравнение всей замкнутой системы в гармонически линеаризованном виде. Согласно (18.135)—(18.140) получаем

Пренебрегая произведениями постоянных времени при высших степенях;? по сравнению с их суммой, что вполне допустимо при рассмотрении низкочастотных автоколебаний (которые здесь и будут иметь место), запишем характеристическое уравнение в виде

дает:

по сравнению с единицей)

но сравнению с единицей, найдем

(неустойчивое).

при заданном значении (18.146), что после пренебрежения прежними малыми членами дает

берется из графика рис. 18.28, а.

(сплошная кривая на рис. 18.28, б). На тот же график наносим правую часть уравнения (18.145) (пунктирная кривая на

Пример 3. Рассмотрим систему, в которой нелинейным звеном является логическое устройство (рис. 16.25) с простейшим законом формирования сигнала управления (рис. 16.26). Уравнения системы заданы в виде (16.66)—(16.69).

Установившийся режим в такой системе будет автоколебательным. Искать его будем приближенно в синусоидальной форме

так как свойство фильтра в данной системе соблюдается. Тогда величины и и V будут

, т. е. в

рис. 18.29).

изображен на

рис. 18.30.

.причем

Отсюда

). Учитывая, что согласно (18.149)

), находим

Теперь по правилам § 18.1 легко записать результат гармонической линеаризации нелинейной логической функции:

(амплитуды и частоты автоколебаний переменной).

Характеристическое уравнение рассматриваемой системы в целом после указанной гармонической линеаризации нелинейности, согласно (16.66)-( 16.69) и (18.153), принимает вид

Получаем вещественную и мнимую части соответственно

(рис. 18.31, а). Затем на первом из них наносится

и

па рис. 18.31, а.

из уравнении (18.156) и (18.157), находим

и вычисляя каждый раз по этим

(см.

. При этом нужно

учитывать, что из требования вещественности выражений (18.151) и (18.152) следует выбирать

Пример 4. Рассмотрим систему автоматического управления с двумя нелинейностями в случае, когда их гармоническая линеаризация по отдельности невозможна вследствие отсутствия свойства фильтра у звена, стоящего между ними (рис. 18.32).

Представим весь блок, включающий обе нелинейности, изображенный отдельно на рис. 18.33, как одно нелинейное звено. По отношению

к нему система обладает свойством фильтра. Следовательно, автоколебания в системе можно искать приближенно в виде

Система уравнений, описывающих работу всей системы, имеет вид

определяется соотношением

получаем

Для того чтобы выходной сигнал достигал уровня ограничения (т. е. чтобы вторая нелинейность участвовала в работе), необходимо выполнение условия

Таким обрезом, следует рассматривать входные сигналы с частотой

Амплитуда первой гармоники для треугольного сигнала с ограничением имеет вид

будет

В результате можно записать уравнение нелинейного блока (рис. 18.33) в гармонически линеаризованном виде:

Характеристическое уравнение всей замкнутой системы при этом получит вид

в виде

(18.165), что дает:

из (18.167) можно найти частоту со,,:

под знаком тригонометрических функций, решаем это уравнение графически. Его левая часть изображается кривой, показанной на рис. 18.35.

Преобразуем уравнение (18.168) к виду

сигнала на входе нелинейного звена. Остается определить, которое из двух найденных решений соответствует действительным автоколебаниям в системе. Для этого исследуем устойчивость найденного решения с помощью критерия (18.63).

Поскольку согласно (18.167)

представим Y в виде

, а частная производная

В результате условие устойчивости колебаний (18.63) сводится к требованию

Таким образом, в системе существуют автоколебания, параметры которых

Помимо условия (18.171) для устойчивости найденного решения необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (18.165) были положительными, а именно:

Легко проверить, что все эти условия были выполнены в самом процессе отыскания периодического решения.