Случайные процессы в нелинейных системах

Статистическая линеаризация нелинейностей

в (21.44) являются медленно меняющимися случайными процессами с нормальным законом распределения (см. подробнее § 10.1 в книге [72]).

Для решения других задач при случайных воздействиях удобно бывает применять так называемую статистическую линеаризацию нелинейностей, разработанную П. Е. Казаковым [38]. Сущность ее заключается в следующем.

Для оценки динамической точности автоматических систем при случайных воздействиях будем определять два первых вероятностных момента случайных процессов: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение). Последнее эквивалентно определению спектральной плотности или корреляционной функции.

Если нелинейная система описывается дифференциальным уравнением

в нелинейном звене Р (х, рх) существенно связано с высшими вероятностными моментами (подобно тому как в главе 18 приходилось иметь дело с высшими гармониками). Ввиду замкнутости контура системы это обстоятельство накладывает отпечаток и на все процессы в данной системе. Поэтому точное решение задачи в большинстве случаев оказывается недоступным.

Достаточно хорошее для целей инженерных расчетов первое приближение применительно к рассматриваемым классам систем, обладающих свойством фильтра, дает пренебрежение высшими моментами, т. е. замена нелинейного звена эквивалентным линейным, которое одинаково с данным нелинейным преобразует два первых вероятностных момента: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднеквадратичное отклонение). Это и называется статистической линеаризацией нелинейности.

Эта операция по общей идее (но не по конкретному содержанию) аналогична тому как в главе 19 нелинейное звено при помощи гармонической линеаризации заменялось эквивалентным линейным, которое одинаково с данным нелинейным преобразует постоянную (или медленно меняющуюся) составляющую и первую гармонику колебательной составляющей, т. е. принимались во внимание два первых члена ряда Фурье и отбрасывались все высшие гармоники.

в виде

— случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием (центрированная случайная функция времени).

также представим в виде

—эквивалентный коэффициент усиления случайной составляющей (центрированной).

Это выражение по форме тоже аналогично тому, которое применялось в главе 19, по имеет иное конкретное содержание.

Величина регулярной составляющей р определяется, следовательно, по известной формуле для математического ожидания. В случае однозначной нелинейной функции Р(х) эта формула дает

— дифференциальный закон распределения случайной составляющей, например нормальный закон (рис. 11.10):

будет более сложное выражение:

при симметричном законе распределения

(в том числе и нормальном) упрощается. Например, для нелинейности, показанной на рис. 22.2, будет

случайной составляющей в формуле (22.3) рекомендуется определять одним из следующих двух способов.

переменной .г и нелинейной функции F а именно:

дает

, обобщив (22.9) потому же образцу, как обобщены выражения (22,6) и (22.7) по сравнению с (22.4).

взять среднее арифметическое из двух; (22.8) н (22.10).

имели бы другие выражения).

1. Идеальная релейная характеристика (рис, 22,3, а). Из формулы (22,4) находим

показана графически на рис. 22.3, б.

По формулам (22.9) и (22.11) находим соответственно

показаны на рис. 22.3, в.

2. Однозначная релейная характеристика с зоной нечувствительности (рис. 22.4, а). По формуле (22.4) с учетом обозначения (22.12) находим

при

По формулам (22.9) и (22.11) получаем выражения типа (22.13), где

что изображено графически па рис. 22.4, в и г.

3. Петлевая релейная характеристика общего вида (рис. 22.5, а). По формулам (22.7) находим

где кроме (22.14) и (22.12) введены еще обозначения

показана на рис. 22.5, б.

Далее получаем выражения типа (22.13), где

Эти функции для случая т = 0,5 изображены на рис. 22.5, в и г.

4. Характеристика типа насыщения (рис. 22.6, а). По формуле (22.4) с учетом

обозначений (22.12) и (22.14) находим

на рис. 22.6, б. По формулам же (22.9) и (22.11) находим выражение (22.13), где

что изображено на рис. 22.6, в и г.