Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л. а. х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л. ф. х.) разомкнутой системы.

Построение л. а. х. производится по выражению

- модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (6.23).

частотной передаточной функции (6.23). Для построения л. а. х. и л. ф. х. удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.19.

Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду

получаем

Фаза (аргумент) частотной передаточной функции

разомкнутой системы

которой соответствует выражение для модуля в логарифмическом масштабе

находящуюся па 20 дБ выше оси абсцисс.

  точка Л опустится па 40 дБ.

сомножителя второго порядка знаменателя (6.28), то л. а. х. изламываем на -40 дБ/дек и последняя асимптота будет иметь наклон -60 дБ/дек.

— на 6 дБ ниже асимптотической.

Выражение для фазы (6.28) имеет вид

  (см. рис. 6.18). Все остальные получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы па соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.30). Логарифмическая фазовая характеристика (рис. 6.18) получается в результате алгебраического суммирования всех слагаемых (6.30). Построение л. ф. х. можно существенно упростить, если заранее будет подготовлен шаблон для одной из указанных зависимостей.

Аналогичное построение л. а. х. и л. ф. х. может быть сделано при любом значении г. Разница будет заключаться в наклоне первой асимптоты л. а. х. и величине первого слагаемого выражения для фазы (6.27).

На первой л. а. х.

в асимптотическую л. а. х. следует внести поправки в соответствии с рис. 4.15 или рис. 4.16 (для первого из указанных сомножителей они берутся с обратным знаком).

Аналогично изложенному выше строится и л. ф. х. Для построения составляющих фазовой характеристики, соответствующих сомножителям с комплексными корнями, можно использовать графики, приведенные на рис. 4.15.

Обратимся теперь к исследованию устойчивости замкнутой системы но построенным л. а. х. и л. ф. х. разомкнутой системы. Для этого воспользуемся последней из приведенных выше формулировок критерия Найквиста, связанной с прохождением а. ф. х. через критический отрезок.

. Как и прежде, переход сверху вниз считается положительным, а снизу вверх — отрицательным.

появится -1 переход через критический отрезок и замкнутая система станет неустойчивой.

и сумма переходов равна нулю.

Так как имеется -1 переход через вторую часть критического отрезка, то замкнутая система неустойчива.

Большое практическое преимущество критерия Найквиста состоит в том, что а. ф. х. или л. ч. х. разомкнутой системы могут быть получены не только расчетным путем (в том числе и с использованием средств вычислительной техники) при заданной передаточной функции разомкнутой системы, но и сняты экспериментально при наличии уже созданных автоматической системы в целом или отдельных ее устройств. Это особенно важно тогда, когда достоверность исходных дифференциальных уравнений но тем или иным причинам вызывает сомнение.