Устойчивость систем с запаздыванием

Системы с запаздыванием отличаются от рассмотренных ранее систем тем, что в одном или нескольких из своих звеньев имеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после начала изменения входной) на величину т, называемую временем запаздывания, причем это время запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.

Например, если звено описывается уравнением

(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего звена с запаздыванием будет иметь вид

(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравнения называются уравнениями с запаздывающим аргументом,

Тогда уравнение (6.31) запишется в обыкновенном

виде:

изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 6.20,

стоящей в правой части уравнении звена,

). В общем случае, как и для (6.31), уравнение динамики любого звена с запаздыванием можно разбить на два:

что соответствует условной разбивке звена с запаздыванием (рис. 6.21, а) па два: обыкновенное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рис. 6.21,6).

означает время движения металла от валков до измерителя толщины. В двух последних примерах величина т называется транспортным запаздыванием.

В первом приближении определенной величиной запаздывания т могут быть охарактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы.

показанная на рис. 6.22, б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (6.31), взяв величины т, Г и к с экспериментальной кривой (рис, 6,22, б).

Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 6.22, в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением

и к можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.

функция (6.36) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (6.35).

Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (6.33) будем теперь записывать в виде

Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет

обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного звена без запаздывания.

— модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания.

Отсюда получаем следующее правило.

Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол то, где со — значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис. 6.23, а).

то

начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена В меньше, чем многочлена С).

Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рис. 6.22, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (6.31), так и (6.34). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (6.31) и (6.34) показаны на рис. 6.23, а и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью (/. При сравнении обеих характеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикой реального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характер распределения отметок частот со вдоль нее.

— передаточная функция разомкнутой системы без запаздывания.

Характеристическое уравнение замкнутой системы, как показано в гл. 5, имеет вид

уравнение может иметь бесконечное количество корней.

существенно изменяется очертание амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цени, построенной но частотной передаточной функции

причем размыкание системы производится по определенному правилу, которое дается ниже.

Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка с запаздыванием, оказывается, уже недостаточно только положительности .коэффициентов, а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерии устойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица.

Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, так как его использование для этой пели оказывается наиболее простым.

1Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости но критерию Найквиста лучше всего производить, если передаточная функция разомкнутой системы представлена в виде (6.38). Для получения этого необходимо произвести соответствующим образом размыкание системы.

Для случая, изображенного на рис. 6.24, а, размыкание можно сделать в любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет что совпадает по форме с (6.41).

Для случая, изображенного на рис. 6,24, б, размыкание главной цепи дает выражение

функции разомкнутой системы, не удобное для дальнейших исследований:

Наконец, в случае, изображенном на рис. 6.24, в, при размыкании системы в указанном месте получаем выражение, также совпадающее с (6.41):

Частотную передаточную функцию (6.41) можно представить в виде

Поэтому, представив выражение (6.41) в виде

получаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции

  Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля и вносит только дополнительный фазовый сдвиг.

На рис. 6.25 изображена амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая (6.43).

введение постоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости.

при котором система оказывается на границе колебательной устойчивости.

запишется следующим образом:

откуда критическое значение запаздывания

удобно делать при наличии построенных л. а. х. и л. ф. х.

Л. а. х. системы с запаздыванием совпадает с л. а. х. исходной системы (без запаздывания). Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении л. ф. х. системы с запаздыванием, определяемся (6.45).

В некоторых случаях могут использоваться аналитические расчеты. Так, например, рассмотрим статическую систему с одной постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Приравняем модуль единице:

Отсюда находится частота, соответствующая

Фазовый сдвиг на этой частоте

По формуле (6.46) находим критическое запаздывание:

По этому выражению на рис. 6.26 построена область устойчивости в координатах общий коэффициент усиления — относительное запаздывание.