Чувствительность систем управления

Действительные значения параметров системы управления практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.

Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы.

параметра,.

или мастные производные от используемого критерия качества / поэтому параметру,

Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные производные должны приниматься равными значениям, соответствующим поминальным (расчетным) параметрам.

Функции чувствительности временных характеристик. Посредством этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.

Варьированной системой называют такую систему у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.

Дополнительным движением называют разность между варьированным и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка

Если изменения параметров не вызывают изменения

порядка дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора.

Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения

Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям

Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.

может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.

приводит к так называемым уравнениям чувствительности

Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности [40, 82].

параметра.

В некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени па выходе системы. Так, если передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)

■ 1(0 па выходе будет

даст функцию чувствительности по этому параметру

Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка

то уравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.

связана с задающим воздействием зависимостью

— изображение задающего воздействия.

Здесь введена функция чувствительности передаточной функции

Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра а. не меняет порядка характеристического уравнения системы.

Может также использоваться так называемая логарифмическая функция чувствительности

  представляют собой безразмерные величины. Если эти величины размерны, то их логарифмирование возможно, если использовать прием, указанный в § 4.4.

Найдем дополнительную передаточную функцию для случая, когда исходная передаточная функция может быть представлена в виде отношения двух полиномов:

— вариации полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

расчетным путем или моделированием на ЭВМ.

Составим, например, модель чувствительности для передаточной функции замкнутой системы

  Равенство приращений числителя и знаменателя Ф(р) позволяет упростить схему модели. Она изображена на рис. 8.28, а в исходном, а на рис. 8.28,6— в преобразованном виде.

В общем случае, когда передаточная функция зависит от ряда варьируемых параметров, дополнительная передаточная функция

то следует найти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточных функций, определенных для каждого внешнего воздействия.