Частотные критерии качества

Под частотными критериями качества будем понимать такие критерии, которые не рассматривают вида переходного процесса, а базируются па некоторых частотных свойствах системы. Частотные критерии качества особенно удобно применять при использовании частотных методов расчета, так как при этом получается наиболее простое решение задачи.

Частотные критерии наиболее разработаны в отношении оценки запаса устойчивости замкнутой системы. Разумеется, что при этом система должна быть устойчивой. Запас устойчивости замкнутой системы можно определять по удалению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы (рис. 8.24, а) отточки (-1,;0). Для этой цели вводятся понятия запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе.

выраженными в децибелах:

Запас устойчивости замкнутой системы по амплитуде равен минимальной из них:

  в линейном масштабе.

точка Ь может оказаться

. Поэтому дополнительно к запасу устойчивости

равному единице (точка Ь на рис. 8.18, а):

могут быть определены и при использовании логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

, а фаза

. В этом отношении более удобно

определять запас устойчивости по показателю колебательности. Показателем колебательности называется максимальное значение ординаты Мшах амплитудной характеристики замкнутой системы (см. рис. 8.19) при начальной ординате, равной единице, т. е. относительная высота резонансного пика. Физически эта характеристика

определяется модулем частотной передаточной функции замкнутой системы:

— частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Максимальное значение этого модуля и представляет собой показатель колебательности (имеется в виду наибольший максимум)

и отыскания относительной величины резонансного пика.

Для отыскания показателя колебательности нет необходимости строить амплитудную частотную характеристику (рис. 8.19) или отыскивать максимум (8.82). Существуют приемы, позволяющие найти показатель колебательности по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. Возьмем на амплитудной характеристике (рис. 8.19) некоторую точку а, которой соответствует ордината М, и отобразим эту точку па комплексную плоскость частотной передаточной функции разомкнутой системы. Для этого рассмотрим уравнение

Возводя в квадрат правую и левую части и освобождаясь от знаменателя, после алгебраических преобразований получим

  I

Это есть уравнение окружности с радиусом Я и с центром, смещенным влево от начала координат на величину С.

которой коснется амплитудно-фазовая характеристика.

то для выполнения этого необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не заходила в область, ограниченную соответствующей окружностью (рис. 8.21). Лмп-литудно-фазовая характеристика может только коснуться этой окружности. В этом случае показатель колебательности будет как раз равен заданному значению Мтах.

ограничивает

и обеспечивает получение заданного запаса устойчивости,

Величина показателя колебательности может быть определена и в случае использования логарифмических частотных характеристик. Для этого отобразим запретную зону (рис. 8.21) на логарифмическую сетку Рассмотрим отдельно окружность заданного показателя колебательности (рис. 8.22).

На окружности возьмем произвольную точку В и построим вектор, соединяющий эту точку с качалом

но теореме косинусов находим

Из рис. 8.22 нетрудно видеть, что зависимость (8.86) существует только для модулей, лежащих в пределах

вектора не может попасть в запретную зону (рис. 8.22).

-кривых. Эти графики строятся обычно таким образом, что модуль Л откладывается в децибелах (рис. 8.23).

Из выражения (8.86) можно найти, в частности, максимальный запас по фазе обычным методом отыскания максимума:

. Если имеется построенная л. а. х. (рис. 8.24), то по имеющимся п.-кривым и при заданном значении М можно достроить требуемое значение запаса по фазе для каждого значения модуля. Это построение должно делаться для модулей, лежащих в пределах (8.87). В результате будет получена запретная область для фазовой характеристики. Чтобы показатель колебательности был не больше заданного значения, фазовая характеристика не должна заходить в эту область. Нетрудно видеть, что определение качественного показателя, характеризующего запас устойчивости, делается здесь одновременно с определением устойчивости.

Удобство показателя колебательности определяется также тем, что запас устойчивости характеризуется здесь одним числом, имеющим для достаточно широкого класса систем сравнительно узкие пределы (1,1-1,5).

Чем больше h, тем больше ожидаемый запас устойчивости. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два предельных случая.

, Тогда замкнутая

система очень хорошо демпфирована, так как запас устойчивости по амплитуде

  , а показатель колебательности (см. рис. 8.23) М = 1. При наличии дополнительного излома (показано пунктиром на рис. 8.25, б, а также см. рис. 8.24) запас устойчивости уменьшается.

. Нетрудно убедиться, что в этом случае замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости, а при наличии дополнительного излома (показано пунктиром) становится неустойчивой.

Таким образом, если л. а. х. разомкнутой системы не имеет асимптоты с наклоном - 20 дБ/дек (или с пулевым наклоном), то не обеспечивается даже устойчивость замкнутой системы.

будет рассмотрена в §12.6.

Оценка быстродействия может производиться по частотным характеристикам замкнутой и разомкнутой системы. При рассмотрении замкнутой системы обычно используется амплитудная частотная характеристика (рис. 8.19).

Для оценки быстродействия по этой характеристике могут использоваться следующие величины:

  —    резонансная частота, соответствующая пику а. ч. х.;

= 0,707;

;

  —   эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, определяемая но выражению

может меняться от долей секунды до нескольких часов и более.

должны устанавливаться для каждой

конкретной системы на основе изучения условий ее эксплуатации. При этом характеризовать быстродействие системы может как вся совокупность указанных выше величин, так и каждая из них в отдельности.

Эта частота показана, например, на рис. 8.2 и 8,24.

Определение частоты среза разомкнутой системы может быть сделано па диаграмме, изображенной на рис. 8.18, по точке пересечения а. ф. х. с окружностью единичного радиуса, центр которой расположен в начале координат.

Хотя приведенные выше частотные критерии запаса устойчивости и быстродействия могут рассматриваться независимо от свойств системы во временной области, представляется полезным провести некоторое приближенное сопоставление частотных и временных характеристик.

Если показатель колебательности М > 1, то замкнутую систему можно аппроксимировать колебательным звеном (см. § 4.5). Тогда передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде

и показателем колебательности М для той же передаточной функции (8.90).

Кривые, приведенные на рис. 8.26, в некоторой мере характеризуют связь между показателями качества и в более сложных случаях, чем выражение

(8.90).

на переходной характеристике (рис. 8.3) может быть определено по приближенной зависимости

Если переходный процесс в системе заканчивается за 1-2 колебания, то время переходного процесса можно определить по приближенной зависимости

и измерять се в Герцах. Тогда получаем