Канонические разложения случайных функций

Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть

представлена в виде

— некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. н.), х — случайная величина.

Корреляционная функция в этом случае

и элементарных случайных функций:

— случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием.

координатных функций.

При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. п.). Так, например, производная от (11.88) будет

Аналогичным образом интегрирование (11.88) даст

Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [80].

Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция

— дисперсии коэффициентов канонического разложения.

Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции.

и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье:

где V — целые числа.

Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайном функции

В разложении (11.92)

то формулу (11.92) можно представить в виде

Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5)