Теория систем автоматического управленияКанонические разложения случайных функций
Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть
представлена в виде
![](/images/teorijasistempravlenija/image6474.jpg)
— некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. н.), х — случайная величина.
Корреляционная функция в этом случае
![](/images/teorijasistempravlenija/image6480.jpg)
![](/images/teorijasistempravlenija/image6482.jpg)
и элементарных случайных функций:
![](/images/teorijasistempravlenija/image6488.jpg)
— случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием.
координатных функций.
При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. п.). Так, например, производная от (11.88) будет
![](/images/teorijasistempravlenija/image6494.jpg)
Аналогичным образом интегрирование (11.88) даст
![](/images/teorijasistempravlenija/image6496.jpg)
Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [80].
Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция
![](/images/teorijasistempravlenija/image6498.jpg)
— дисперсии коэффициентов канонического разложения.
Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции.
и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье:
![](/images/teorijasistempravlenija/image6508.jpg)
где V — целые числа.
Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайном функции
![](/images/teorijasistempravlenija/image6510.jpg)
В разложении (11.92)
![](/images/teorijasistempravlenija/image6516.jpg)
то формулу (11.92) можно представить в виде
![](/images/teorijasistempravlenija/image6522.jpg)
Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5)
![](/images/teorijasistempravlenija/image6524.jpg)
![](/images/teorijasistempravlenija/image6526.jpg)
|