Теория систем автоматического управленияКанонические разложения случайных функций
Элементарной случайной функцией называется функция, которая может быть
представлена в виде
 — некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. н.), х — случайная величина.
 Корреляционная функция в этом случае
 и элементарных случайных функций:
 — случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием.
 координатных функций.
При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. п.). Так, например, производная от (11.88) будет
Аналогичным образом интегрирование (11.88) даст
Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [80].
Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция
 — дисперсии коэффициентов канонического разложения.
Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции.
 и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье:
где V — целые числа.
Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайном функции
 В разложении (11.92)
 то формулу (11.92) можно представить в виде
Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5)
|
