Нахождение функции веса и построение переходных процессов

Функция веса системы с переменными параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно но следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе управления, и по ее виду можно судить о качестве управления, аналогично тому, как это делалось для систем с постоянным параметрами (§ 8.4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия и склонность системы к колебаниям.

Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системы при заданных входных воздействиях не производя при этом каждый раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса.

Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют решать задачу нахождения функции веса в численном виде. Только для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удастся решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описывается уравнением не выше второго порядка.

Следует заметить, что большинство систем управления с переменными параметрами относится к так называемым квазистационарным системам, и системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса.

Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенно можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка

Это уравнение имеет аналитическое решение

уравнение (13.14) можно записать в

следующем виде:

Далее получаем

На основании формулы (13.13) получаем

При нулевых начальных условиях (для I = в) должно быть к (О, Ф) = 0. Отсюда определяется постоянная интегрирования

, можно получить функцию веса:

Проделав необходимые выкладки, получаем

Распространим этот результат па более общий случай записи дифференциального уравнения в виде .

Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14). Приведем его к виду (13.17):

что совпадает с полученным ранее выражением.

Дифференциальное уравнение второго порядка. Рассмотрим случай, когда диф ференциальное уравнение (13.1) сводится к уравнению второго порядка

исходного уравнения (13.19) на основании формулы (13.20) соотношением

зависимостью

Эта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представ лена в виде

  необходимо предварительно решить уравнение (13.21), которое приобретает вид

Однако это решение является сравнительно сложным.

(рис, 13.4). Это решение называется аппроксимацией Бриллуина-Вентцеля-Крамера [86].

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение

Предположим теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнения второго порядка получено частное решение

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет решение (13.28). Продифференцировав его дважды и исключив промежуточные переменные, получаем

Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решением уравнения (13.27), если выполняется тождество

является сложной задачей вследствие наличия нелипейностей в (13.31). Однако может быть найдено приближенное решение (13.31) в виде ряда, если удовлетворяются неравенства

Подставляя этот ряд в (13.31), получаем формулы для определения членов ряда:

изменяется медленно, оставаясь в среднем большой (рис. 13.4). Тогда

в качестве второго частного решения можно

взять комплексно-сопряженную величину (13.29)

  . В результате из формулы (13.37) можно получить функцию веса консервативного звена

Для исходного дифференциального уравнения (13.19) на основании (13.25) и (13.37) получаем искомую функцию веса

Критерием медленности изменения функции р {() и, следовательно, применимости полученного выражения может служить неравенство

которое получается из (13.31) и (13.34).