Применение и роль устройств запаздывания при моделировании экономических систем

Математическое описание процессов в экономических системах позволяет перейти к их моделированию и исследованию с помощью современной вычислительной техники, чтобы затем изменяя характер отдельных связей, осуществлять оптимальное управление и планирование народного хозяйства. Однако экономические системы отличаются многообразием существующих связей, и необходимо выявление наиболее существенных закономерностей для практического решения задачи на современных вычислительных машинах.

Рассмотрим некоторую абстрактную модель производства и потребления, служащую исключительно в целях иллюстрации применения идей моделирования к исследованию экономических систем. Будем полагать, что предприятие Я производит продукцию, поступающую далее- в виде потока товаров Т на рынок сбыта Р через склад С. На рынке сбыта товары превращаются в деньги Д, которые затем поступают предприятию, замыкая цель производства и потребления.

в цепь системы (например, между предприятием и рынком сбыта— транспортное запаздывание), который играет существенную роль при Исследованиях устойчивости системы целом.

Структурную схему (рис. 112, а) можно исследовать, используя обычные методы, свойственные системам автоматического управления.

Каждый из элементов системы может рассматриваться © виде оператора преобразования -входного сигнала в выходной, причем [возможна достаточно сложная структура каждого из ее элементов, включающих взаимосвязанные цепи с обратными связями.

, остальные звенья системы сведем к звену с оператором К(р) вида

где аи bi — постоянные коэффициенты.

Уравнения свободного движения для системы (рис. 112, б) записываются

Предполагая существование решения системы (V.59), (V.60) в виде

подставим выражения (V.61), (V.62) в (V.58), и .сокращая величину в?1, приходим к следующим равенствам:

Совместное решение уравнений (V.63), (V.64) .приводит к выражению которое является условием существования решений системы вида (V.61), (V.62).

Следовательно, решения (V.61) (V.62) будут существовать только в случае, если действительное число р удовлетворяет уравнению (V.65).

Уравнение (V.65) представляет собой характеристическое уравнение системы (рис. 112, б), поскольку оператор Кз(р) замкнутой системы имеет вид

— оператор разомкнутой системы.

и экспонента

пересекаются в конечном числе точек, поэтому трансцендентное характеристическое уравнение (V.65) имеет конечное множество действительных корней, но бесконечное множество комплексно-сопряженных корней. Общее решение системы уравнений (V.59), (V.60) имеет вид

где pi — корни характеристического уравнения;

-> 0. Влияние запаздывания /на устойчивость линейной системы обычно выявляется с помощью критерия Найквиста по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Амплитудно-фазовая характеристика для разомкнутой системы (рис. 112, б) имеет следующий вид:

— частота при которой система оказывается на границе устойчивости.

Уравнение (V.72) может быть записано в следующем виде:

— критическая величина времени запаздывания.

. Если второй вектор прошел эту точку, система вновь устойчива (см. рис. 112, е) после достижения величины времени запаздывания:

и система далее о кажется неустойчивой пока второй вектор (рис. 112, г) не пройдет через указанную точку и т. д. В результате при увеличении величины времени запаздывания получается чередование полос устойчивости и неустойчивости системы в функции значений т.

Пусть для примера звено системы (рис. 112, б) имеет амплитудно-фазовую характеристику вида (рис. 113, а):

где Т — постоянная времени.

:

Поэтому система будет устойчива для значений времени запаздывания меньших to, т. е. определяемых выражением

критическое значение величины т сравнительно

При исследованиях устойчивости экономических систем, обладающих транспортными запаздываниями происходящих в них процессов, совершенно недопустимо ограничиваться статикой системы. Более того, практически время запаздывания в таких системах не является постоянной величиной, но зависит от многих переменных системы, что еще более усложняет решение.