Пример исследования устойчивости экономической системы

На рис. 114, а представлена конкретная схема модели денежного обращения (72]. Она содержит систему управления выпуска продукции (обведена пунктиром) в соответствии с получаемым прибавочным продуктом. (Здесь П — потребление, К—капиталовложения, РБ—-расчетное бюро).

В схеме (рис. 114, а) спрос N, -измеряемый в денежном выражении, подразделяется а доход производства Ef и прибавочный продукт Q:

с полученным прибавочным продуктом Q, определяемое выражением

— постоянный .коэффициент.

— время запаздывания; Т — постоянная времени,

или соответствующую (V.82) передаточную функцию

где N является уставкой (заданием) системы, a Ef—управляемой величиной.

в следующем виде:

где Кг(р)—передаточная функция замкнутой системы управления [сравните с формулой (V.66)]. Для исследования устойчивости подобной экономической системы получим следующее характеристическое уравнение:

Подставляя выражение для К(р) из равенства (V.83), находим

Представляя левую часть уравнения (V.89) по формуле Эйлера, приходим к выражению

Приравнивая в уравнении (V.90) действительные и мнимые части, находим

и логарифмируя это выражение, находим

найденное из формулы (V.92), в левую

часть уравнения (V.91), получим

Уравнение (V.94) является трансцендентным, и его решение обычно проще найти графически.

система управления неустойчива. Ь случае,

= 0, система всегда устойчива. Таким образом, при расчетах экономических систем особенно необходимо учитывать существующее запаздывание в системе.

В более сложных экономических системах величины т могут изменяться в зависимости от внешних по отношению к системе факторов или от каких-либо ее переменных. Аналитический метод решения экономических задач с учетом временных запаздываний происходящих в них процессов, как следует из рассмотрения примера, весьма сложен и громоздок. Наиболее целесообразно математическое моделирование таких задач с использованием соответствующих устройств запаздывания.