Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона-Хевисайда

Как известно, периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:

— основная круговая частота.

Этот ряд может быть представлен также в комплексной форме:

определяется выражением

, которое называется также

преобразованием Фурье:

Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числу несобственных интегралов и может применяться для так называемых абсолютно интегрируемых функций времени, т. с. для функций времени, удовлетворяющих неравенству

От этого недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями:

Вещественная часть ее представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходимости, которая выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство

Поэтому для этих функций

Уравнения (7.17) и (7.18) часто записывают в сокращенном виде:

В связи с этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны в виде

В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используется преобразование Карсона-Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа дополнительным умножением на величину/?:

Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсона-Хевисайда существует соотношение

Преобразование Карсона-Хевисайда нашло распространение наряду с преобразованием Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первым для решения дифференциальных уравнений был использован так называемый операторный метод Хевисайда, который, по сути дела, использовал преобразования (7.21) и (7.22).

, равно

самой постоянной величине, что легко доказывается использованием выражения (7.21). Поэтому во многих случаях преобразование Карсопа-Хевисайда сливается с операторной записью дифференциальных уравнений.

Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона-Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.

Формулы для дифференцирования и интегрирования оригинала ланы для случая нулевых

начальных значений.

Для ненулевых начальных значений из (7.17) можно получить изображение по Лапласу производной оригинала (s заменено нар):

— изображение самой функции.

Аналогично для второй производной

т. е. операция дифференцирования оригинала заменяется для изображения умножением на комплексную величину р.

Аналогично для преобразования Карсоиа-Хевисайда

Аналогичным образом можно найти изображение интеграла от функции времени:

представляет собой значение интеграла, находящегося в левой части (7.31).

Для пулевых начальных значений выражение (7.31) упрощается:

т. е. интегрированию но времени оригинала соответствует деление на изображение па комплексную величину р.

на примере преобразования Лапласа.

. В результате получаем

обозначает сумму всех членов, содержащих начальные значения.

Отсюда находится изображение искомой величины:

Последнее выражение требует некоторых пояснений в связи с различными возможными трактовками понятия начальных значений. Интегральное преобразование Лапласа (7.17), следует, вообще говоря, записать в более строгом виде (при замене s пар):

Это дает возможность введения двух несколько отличающихся понятий преобразования Лапласа (и соответственно преобразования Карсона-Хевисайда).

т. е. для момента времени, который будет сразу после приложения к системе внешних воздействий. В этом случае

как правило, отличен от нуля.

-функции и ее производных оказывается при этом равным пулю:

2. Преобразование Лапласа по начальным значениям слева. Если в формуле (7.34) нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным

т. е. для момента времени, который будет непосредственно предшествовать моменту приложения воздействия. Такие начальные значения называются также предиачальиыми. В этом случае

Расчет получается более простым, так как нредпачальные значения должны быть известны всегда и никаких дополнительных операций здесь не требуется. В частном случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, предначальные значения нулевые и выражение (7.33) приобретает вид

как отношение изображений входной и выходной величин при нулевых предначальных значениях.

-функции. Так, например, изображение единичной 8-функцип оказывается равным единице:

при нулевых предначальных значениях или без его изменения при ненулевых предначальных значениях. В связи с этим 8-функция иногда называется также функцией начальных значений.

в виде (7.33) или (7.35), можно найти

Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32).

можно пользоваться таблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разломения, которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов

— некратные корни знаменателя (7.36).

то

изображение надо представить в виде .

Тогда оригинал может быть найден но формуле

Аналогичным образом теорема разложения может быть записана и для преобразовании Карсона- -Хевисанда. Так, например, если изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух полиномов

то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет определяться выражением

Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображения Лапласа (7.38) и Карсона-Хевисайда (7.40) отличаются на множитель р.

Использование изображений часто называют также операторным методом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хевисайдом, оказывается полностью аналогичным использование только преобразований Карсона-Хевисайда (7.21) и (7.22).

нии изображения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и его часто применяют в задачах теории управления.

Практически важной для отыскания оригинала решения является еще теорема свертывания. Она гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение

где т представляет собой вспомогательное время интегрирования.

, представляющую собой

преобразованием Лапласа

выходной величины будет

Тогда функция времени на выходе может быть найдена по интегралу свертывания (7.43):

В этом случае верхний предел интеграла в формуле (7.44) может быть заменен на бесконечность и она приобретает вид