Определение минимума интегральной оценки

Пусть требуется исходя из минимума какой-нибудь интегральной оценки, выбрать два каких-нибудь параметра а и р заданной автоматической системы. Указанные два параметра входят в коэффициенты дифференциального уравнения системы. Прежде всего по вышеприведенным формулам находится выражение соответствующей интегральной оценки. Это выражение, если все параметры системы заданы, кроме а и (3, имеет вид

вычисляем частные производные по а и р и приравниваем их пулю. В результате получаем два уравнения:

с двумя неизвестными а м 0. Отсюда и определяются искомые значения параметров а и р. Чтобы убедиться в том, что это действительно минимум, а не максимум, можно вычислить значение /при полученных значениях а и (3, а затем при каких-нибудь соседних. Последние должны оказаться больше. Аналогично можно поступить и при выборе нескольких параметров по минимуму интегральной оценки.

Функция (а, (3) не всегда обладает минимумом по рассматриваемым параметрам. Тогда нужно выбирать их по наименьшему значению интегральной оценки / внутри области, назначаемой из других соображении.

(можно для наглядности построить график величины / в зависимости от выбираемого параметра). Аналогично нужно поступить и с другими выбираемыми параметрами системы.

В конкретных расчетах всегда следует учитывать, что одновременно с таким выбором параметров нужно, во-первых, обеспечить хорошие статические свойства системы и, во-вторых, проследить, чтобы оптимальная точка не оказалась слишком близкой к границе устойчивости, так как всегда надо иметь некоторый запас устойчивости.

Рассмотрим в качестве примера дифференциальное уравнение третьего порядка

Тогда изображение по Лапласу управляемой величины будет

то в соответствии с формулой (8.61) имеем

Далее но выражению (8.62) находим определитель

необходимо первый столбец определителя Д заменить на (8.63):

• В результате получаем значение интегральной квадратичной оценки:

из условия минимума величины.

Построим диаграмму квадратичной интегральной оценки па плоскости параметров Вышнеградского А и В. Согласно § 8.6

получаем

это дает на плоскости параметров Вышнегородского кривую

нанесены на диаграмме (рис. 8.17). Там же пунктиром нанесены кривые, взятые из диаграммы Вышнегородского (рис. 8.9), показывающие области колебательности (I) монотонного (II) и апериодического (III) процессов. Минимум интегральной оценки находим, приравнивая нулю частные производные:

имеет место в точке О (рис. 8.17). Эта точка лежит, однако, слишком близко к границе устойчивости, что может не обеспечить необходимого запаса устойчивости (см., например, рис. 8.12). Практически лучше брать параметры системы не точно в точке D а несколько правее и выше.

оста-

уравнения (8.77).