Разностные уравнения

модулированных по амплитуде. Несмотря на то, что

Поэтому для исследования импульсных систем вместо дифференциальных уравнений используются так шыъасмые разностные уравнения.

в соответствии с выражением (14.2). Формирующее устройство образует из этих значений импульсы прямоугольной формы так, как показано па рис. 14.2.

. Условно это отображено на рис. 14.4 наличием ключа па выходе непрерывной части.

иногда называют решетчатыми функциями, хотя в строгом понимании они функциями не являются.

служит конечная разность 1-го порядка или первая разность

конечная разность 2-го порядка или вторая разность

разности можно записать

где

— биномиальные коэффициенты.

В качестве аналога дифференциального уравнения можно рассматривать уравнение в конечных разностях. Применительно к системе, изображенной на рис. 14.4, оно имеет вид

  I

Однако при исследовании дискретных систем удобнее пользоваться уравнением

которое получается из (14.9) с учетом (147). Оно и называется разностным уравнением.

Уравнение (14.10) можно представить и в ином виде:

Такие вычисления легко машинизируются, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже в случае, когда коэффициенты разностного уравнения с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов — дифференциальных уравнений.

Общее решение неоднородного разностного уравнения (14.10) или (14.11), как и решение неоднородного дифференциального уравнения, представляется в виде суммы переходной и вынужденной составляющих. Переходная составляющая, т. е. общее решение однородного уравнения, определяется следующим образом:

— некратныекорни

— произвольные постоянные.

Из (14.12), в частности, вытекает условие затухания свободного движения системы, описываемой разностным уравнением (14.10), т. е. условие устойчивости:

. Во многих случаях этого вполне достаточно для

суждения о поведении системы. Если же возникает необходимость в получении информации об изменении выходной величины в любой момент времени, то используется смещенная последовательность (рис. 14.5, а)

  совпадает с у (с).

Смещенная последовательность у(г, г) представляет собой решение разностного уравнения со смещенным аргументом

  )

которое при е = 0 превращается в уравнение (14.10).

Переходная составляющая, т. е. общее решение однородного уравнения, определяется в этом случае следующим образом;

—некратные корни характеристического уравнения (14.13).

В качестве примера исследуем процессы в системе, разностное уравнение со смещенным аргументом которой имеет вид

получим обыкновенное разностное уравнение:

уравнения удоплетворяют условию (14.14). Следовательно, система устойчива.

последовательно так за шагом находим значения

процесс монотонный, а выходная величина стремится к установившемуся значению

Аналогично решая уравнение(14.18) получим:

0,75. Таким образом, реальный процесс в системе колебательный затухающий, что не обнаруживается в результате решения уравнения (14.19).

Способы получения разностных уравнений будут рассмотрены в следующих параграфах.