Использование 2-преобразования

может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой

соответствует некоторое изображение.

Для исследования импульсных систем большое распространенно получило так называемое -преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из пего. Применительно к 2-преобразованию ниже будут рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.

Под 2-преобразоваиием понимается изображение несмещенной или смещенной последовательностей, определяемое формулами

Из них следует, что 2-иреобра-

зование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения.

Формулы преобразования (14.24) могут быть записаны в символической форме:

Формулы преобразования (14.25) могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде

— абсцисса абсолютной сходимости.

В табл. 14.1 приведены изображения некоторых последовательностей, а также производящих функции времени и их изображений Лапласа.

которые могут быть представлены в виде определителя [96 ]

1екоторые частные значения этого полинома:

Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к 2-преобразованию. Эти же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа. Рассмотрение проведем для несмещенных последовательностей, но полученные результаты можно распространить и на случай смещенных последовательностей, кроме случаев, оговоренных особо.

1.             Свойств о л и и е й и о с т и. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации последовательностей равно той же линейной комбинации их изображений. Пусть

сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов т. Тогда из формулы (14.24) следует, если обозначить г - т = г,

равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (14.31) упрощается;

где т — целое положительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что

приходится вводить смещен-

дробная часть запаздыва-

при

  то можно показать, что

в соответствии с формулами (14.34) и (14.35).

3.             Сумма ординат последовательное! и. Если абсцисса абсолют ной сходимости отрицательна (с < 0), то, положив в (14.24) р = 0, имеем

5.             Формулы р а з л о ж е п и я. Если изображение представляет собой про стейшую табличную форму (см., например, табл. 14.1), то переход к оригиналу не пред ставляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разно видности формулы разложения.

представляет собой отношение двух многочленов:

причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы

(см.

Поэтому оригинал (14.38) можно записать следующим образом:

не имеет нулевого корня числителя, но степень числи теля Л (г) меньше степени знаменателя.

. В результате имеем

Тогда

можно представить в виде

Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.

имеет нулевой полюс кратности г и простые остальные полюсы

Тогда можно найти

оригинал в виде

следует выделить делением

нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в

виде

кратности г, а все остальные полюсы простые:

причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда оригинал будет

формула (14.43) приобретает вид

что совпадает с табл. 14.1.

делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток от деления.

6.             Разложение в ряд Л о р а н а. Из основного выражения для иахожде- ния z- преобразования (14.24) следует:

в ряд Лорана (ряд по убывающим

  и т. д.

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.

в форме (14.10)

. Найдем z-преобразование от его

левой и правой частей. В соответствии с формулой (14.33) для случая упреждения на п тактов

..., 1 тактов.

Для входной последовательности начальные условия не задаются. Поэтому

— сумма членов, определяемых начальными условиями.

Из (14.45) можно найти изображение искомой выходной последовательности

. Последние же

зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения входной последовательности.

Более удобны для решения разностные уравнения вида (14.11)

запаздывающей на п тактов, в соответствии с (14.31) будет

..., 1 тактов.

осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами.

Особый интерес представляет случай, когда до момента времени I = О искомая последовательность тождественно равна нулю.

при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (14.46) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид

будет подробно рассмотрено ниже.

8. Периодические последовательности и их и з о 6 р а ж е -и и я. Введем в рассмотрение периодическую последовательность

где к и Л/ — целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис. 14.6).

теорему сдвига (14.33):

Сумма в правой части (14.49) представляет собой изображение последовательности на интервале 0-М.

аналогичным образом можно получить

Найдем, например, изображение симметричной периодической последовательности, показанной па рис. 14.6, в:

Кроме рассмотренных существуют и другие теоремы 2-преобразования [49].