Случайные процессы в импульсных системах

Будем рассматривать стационарные

процессы, когда вероятностные характеристики не зависят от времени.

Среднее значение случайного стационарного процесса

— одномерная плотность вероятности.

Для центрированных процессов среднее значение равно нулю. Введем понятие корреляционной функции

Аналогично главе 11 можно сформулировать основные свойства корреляционной Функции.

2.             При т = 0 корреляционная функция достигает наибольшего значения:

3.             Корреляционная функция является четной:

можно ввести понятие взаимной корреляционной функции

Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывных процессов.

Введем понятие спектральной плотности случайного стационарного процесса как двустороннего 2-преобразования корреляционной функции

для того, чтобы сделать физическую размерность спектральной плотности дискретного случайного процесса равной размерности спектральной плотности непрерывного процесса и сохранить ее физический смысл. Однако это не обязательно. Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности как функции круговой частоты

-преобразованию, используя подстановку (14.92), а затем перейти к псевдочастотс посредством

В результате получим

Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двух процессов.

, корреляционная функция

Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается в том, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины. Можно показать [96], что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид

Выражение (14.129) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с (14.128), так как позволяет использовать таблицы интегралов (см. приложение 1).

представляющей собой центрированную помеху, эффективное время корреляции

то такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляционной функцией

— единичная импульсная функция, равная единице при т*0и равная нулю при т * 0. Этому белому шуму соответствует спектральная плотность

Спектральная плотность может быть получена использованием формул (14.124)—(14.127).

В табл. 14.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы.

аналогично непрерывному случаю, можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входного сигнала на квадрат модуля частотной передаточной функции:

Интегрирование спектральной плотности по всем частотам в соответствии с

Это

Тогда спектральная плотность ошибки

— частотные передаточные функции замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке.

Глава 15. Цифровые системы 445

Интегрирование (14 Л 34) по всем частотам в соответствии с (14.129) дает средний квадрат ошибки

Подобным же образом могут быть найдены расчетные формулы и для других возможных случаев.